人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品习题

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一．幂函数
1.概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件
二.幂函数的图象和性质
1.五个幂函数的图象：
2.幂函数的性质：
3.一般幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
(4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
(5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
(6)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
判断一个函数是否为幂函数的依据
是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.
二．解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；
②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象
三．比较幂值大小的两种基本方法
考点一 与幂函数概念相关的问题
【例1】（2023·江苏扬州）已知幂函数的图像经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A．B．
C．3D．
2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知幂函数 (α是常数)的图象经过点，那么（ ）
A．4B．-4C．D．-
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
考点二 幂函数的图像及应用
【例2-1】（2023·海南）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【一隅三反】
1．（2023黑龙江哈尔滨）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③B．①，②，③
C．①，②，③D．①，②，③
3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．
考点三 比较幂值的大小
【例3】（2023·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·浙江·高一校联考期中）记，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·高一课时练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考点四 幂函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·四川成都）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【例4-2】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.
(1)求的解析式；
(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【一隅三反】
1．（2023·云南红河·高一统考期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．当时，
D．当时，
2．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（2023·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知幂函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
直接法
当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法
当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小