数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数优秀课时练习

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一.对数的概念
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
二.对数与指数的关系与性质
1．对数与指数的关系
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒lgaN＝x.
(2)对数恒等式：algaN＝N；lgaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
2．对数的性质
(1)lga1＝0 (a>0，且a≠1)．
(2)lgaa＝1 (a>0，且a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
三.对数运算性质
1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R).
拓展：lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(n∈R，m≠0).
2.换底公式
对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
特别地：（1）lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).
(2)lgab·lgbc·lgca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．
一．对数与指数的关系示意图．
二．指数式与对数式互化
1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
三．利用对数运算性质化简与求值
1.基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
2.两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
考点一 对数的概念
【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是 .
【一隅三反】
1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是 ．
考点二 指数式与对数式的互化
【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．
(1) (2) (3).(4)；(5)；(6)；(7).
【一隅三反】
（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．
(1)； (2)； (3)； (4).
(5)； (6)； (7)； (8)．
(9)； (10)； (11)； (12)．
考点三 对数运算性质
【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值．
(1)； (2)； (3).
【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4).
【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
(3)；
(4)
(5)．
【一隅三反】
1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
(5) .
(6) .
(7)；
(8)
(9)；
(10)
(11),
(12),
考点四 对数与指数的综合应用
【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（ ）
A．或B．
C．D．2或
【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【一隅三反】
1．（2023春·天津）已知，则的值（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023秋·广东）已知，则 .
3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为 ．
4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
考点五 对数的实际应用
【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（，）
A．万年B．万年C．万年D．万年
3．（2023秋·江苏南通 ）已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
lg10N记为lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28…
lgeN记为ln N