人教版高中数学必修一 精讲精练第五章 三角函数 章末重难点归纳总结（2份，原卷版+解析版）

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第五章 三角函数 章末重难点归纳总结考点一 三角函数的定义【例1】（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一统考期末）（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以， 所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD2．（2023·上海）（多选）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（    ）A． B．1 C．0 D．2【答案】BC【解析】由题设，故，整理得，所以或.故选：BC3．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）（多选）设角终边上的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为角终边上的点的坐标为，所以，故A错误C正确；，故B正确；，故D错误.故选：BC.4（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）（多选）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则下列取值有可能的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】当时，，则，，则，，故D正确；当时，，则，，则，，故BC正确；综上，A错误，BCD可能正确.故选：BCD.考点二 三角函数值的正负【例2-1】（2023春·云南怒江·高一校考期中）（多选）若，则角的终边位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】BC【解析】因为，则或，若，，此时的终边位于第三象限，若，，此时的终边位于第二象限，综上可得的终边位于第二象限或第三象限.故选：BC．【例2-2】（2023·广东湛江）若，则可能在的象限是（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【解析】当是第一象限角时，，故一定不是第一象限角；当是第二象限角时，，即可以是第二象限角；当是第三象限角时，，即可以是第三象限角；当是第四象限角时，，即可以是第四象限角．故选：BCD.【一隅三反】1．（2022秋·山西·高一校联考阶段练习）（多选）已知是第三象限角，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】已知是第三象限角，∴.对于AB，由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；对于CD，由，角的终边在第二象限或第四象限，不一定成立，C错误；成立， D正确.故选：AD．2．（2023秋·高一课时练习）（多选）在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由题意知角在第四象限，所以，，.选项A，；选项B，；选项C，；选项D，符号不确定.故选：AB.3．（2023春·陕西渭南·高一校考期中）(多选)下列各三角函数值符号为负的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】选项A，因为角是第一象限角，所以，故选项A不满足题设条件；选项B，因为角是第二象限角，所以，故选项B满足题设条件；选项C，因为，所以角是第二象限角，所以，故选项C不满足题设条件；选项D，因为，故选项D满足题设条件；故选：BD.考点三 同角三角函数【例3-1】（2022春·高一课时练习）（多选）下列说法中正确的有（    ）A．若，则B．已知角，若，则C．已知角，若，则D．对于任意角都有【答案】AC【解析】对A，因为，所以，正确；对B，，，的值为负数，不正确；对C，，在第一象限，则，正确；对D，当时，，不存在，故不正确.故选：AC.【例3-2】（2023春·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）已知，则下列结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：ABC.【例3-3】（2023·天津）已知，，则下列选项中正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】将两边同时平方，整理得，所以，故D正确．又，所以，所以由，解得，故C正确，所以，，故A正确，B错误，故选：ACD．【一隅三反】1．（2023·湖北）（多选）已知，且，则关于表述正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，且，所以，则，，，故选：AD2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）已知，则下列选项正确的是(    )A． B．C． D．【答案】ABD【解析】两边平方，得，即，则，选项A正确；因为，所以，又因为，所以，因为，所以，选项B正确，因为，故D正确， C错误，故选：ABD．3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）已知,且和是方程的两个实数根,则=（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】解方程得或;分子分母同时除以得;当时,,当时,.故选：.4．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）（多选）已知，，则的可能取值为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由可得，即，即,,,当时，；当时，.故选：AB.考点四 诱导公式及恒等变化【例4-1】（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知是第四象限角，.(1)化简；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）.（2），即，又是第四象限角，，.【例4-2】（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）化简的值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】故选：A.【例4-3】（2023秋·四川眉山 ）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，即，所以．故选：D【例4-4】（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）（多选）已知，，其中，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】，∴，∴A正确；∴，∴B错误；，，∴，∴∴D正确；∴C正确.故选:ACD.【一隅三反】1．（2023秋·四川成都 ）的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：，故选：2．（2023·陕西商洛 ）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，设，①，又②，所以联立①②，解得，故．故选：D3．（2023春·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中） .【答案】【解析】，，所以.故答案为：.4．（2023秋·江西抚州 ）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1），由，得，所以；（2）由，得，则.5．（2023春·江苏·高一校考开学考试）给出下列三个条件：①角的终边经过点；②；③．请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)若为第四象限角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)-2(2)6【解析】（1）选①，方法一：角的终边经过点，因为为第四象限角，故m＞0，点P到原点的距离为，所以，，故．方法二：角的终边经过点，所以，所以，解得，又为第四象限角，所以，，故．选②，由得，所以，解得，又为第四象限角，所以，，故．选③，由得，因为，，所以，故，所以，解得，又为第四象限角，所以，，故．（2）方法一：由（1）得：，所以．方法二：（*），由（1）得：，所以为第二或第四象限角，①若为第二象限角，则，，所以，*式．②若为第四象限角，则，，所以，*式．考点五 三角函数的性质【例5】（2023秋·广西贵港）（多选）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）A． B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减【答案】BCD【解析】因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确．当时，，所以的图象关于点对称．B正确．因为，所以C正确．当时，，单调递减．D正确．故选：BCD【一隅三反】1.（2023云南）（多选）的部分图象如图所示，则（    ）  A．的最小正周期为B．C．的图象关于直线对称D．将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称【答案】AC【解析】由函数的图象，可得，所以，可得，所以，因为，所以，即，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确，B不正确；由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；将的图象向右平移个单位长度，可得，此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.故选：AC.2．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）A．为奇函数B．C．当时，在上有3个零点D．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BD【解析】∵，∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴，故B对.由上得，当时，，，由图象可知在上有5个零点，故C错误，    ∵在上单调递增，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，当时，满足在上单调递增，故D对.故选：BD.3．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）  A．B．C．在上单调递增D．的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】由图可知，则，故A正确.因为，所以，即.因为，所以，则B正确.令，解得，此时单调递增；令，解得，此时单调递减.由，得在上单调递减，在上单调递增，则C错误.因为，所以.令，，得，.当时，，则的图象关于直线对称，故D正确.故选：ABD.考点六 三家函数的综合运用【例6】（2023秋·湖南常德）已知函数.(1)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)，，时，.(2)【解析】（1）∵，∴，当即时，，此时当即时，，此时.（2）∵，∴，∵，∴，∴，【一隅三反】1．（2023秋·山东烟台 ）已知函数，．(1)若函数的图象关于直线对称，求的最小值；(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【解析】（1），由，，解得，，即函数的对称轴为，．∵的图象关于直线对称，∴当时，有最小值．（2）若函数在上有零点，即在上有解，即在上有解，当，，即，，由，解得，故实数的取值范围是．2．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有两个解，求实数n的取值范围；(3)实数m满足对任意，都存在，使得成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，可得函数的图象，再将所得函数图象向左平移个单位后可得到函数.∴的解析式为.（2）方程在上有且只有两个解，转化为函数与函数在上有且只有两个交点.在上的图象如图所示，    则在单调递增且取值范围是，在单调递减且取值范围是，由图象可知，函数与函数有且只有两个交点，所以，解得，即实数的取值范围为.（3）由（1）知.实数m满足对任意，都存在，使成立，所以对任意，恒成立，即对任意，恒成立，令，设，则，∵，且为增函数，∴，可得在上恒成立.令，，则的最大值，又因为的开口向上，，所以，所以，解得，综述，m的取值范围是.3．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.  (1)求函数的解析式及对称中心；(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.【答案】(1)；，(2)【解析】（1）由的部分图象可知，，可得，所以，，所以，由于，所以，所以函数的解析式为.，∴，故对称中心为，.（2）若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.当时，，，所以.所以函数在区间上的值域为.4．（2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数(，).从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.条件①：；          条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；  条件④：图像的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数图像上各点横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，得到函数的图像，若，求；(3)若是函数的一个零点，求的最小值.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选择条件①④，；选择条件③④：(2)(3)【解析】（1）因为，不是函数的最值，所以函数不是偶函数，故不能选择条件②，选择条件①④： 因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以. . 因为，所以.故. 选择条件③④： 因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以. . 因为函数的最大值为1，所以. 故;选择条件①③条件③能确定，条件①，得，且，不能确定的值，所以也不能确定函数的解析式.（2）由已知，，即，所以．（3）因为是函数的一个零点，由，可得，即，即，可得或，即或，又因为，所以的最小值为.考点七 扇形的弧长与面积【例7】（2023·江苏 ）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】如图所示，扇形的半径为，所以扇形的面积为，又三角形的面积为，所以弧田的面积为，又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢，所以两者的差为.故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（    ）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【解析】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D2．（2023·江苏 ）在中国古代，折扇既实用也是文人雅士或家庭的装饰品，其扇面形状如图实线部分所示.已知该扇面的圆心角为(弧度)，扇面的面积为16，，则扇面的周长(外围实线部分)为A． B．12 C． D．8【答案】C【解析】根据扇形面积公式求解扇形半径，再求扇面周长.【详解】由题意，设， 则周长为故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为 rad，此时扇面面积为 cm2．【答案】 704【解析】如图，设，，由题意可得：，解得：，.所以，．故答案为：．