高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品精练

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考法一 平面向量的加法运算
【例1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1) (2) (3)
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，，则即为所求作的向量.

（3）解：作，，，则即为所求作的向量.

【例1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）化简下列各式:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【一隅三反】
1．（2023山西）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．（2023云南）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)(2)(3)(4)2
【解析】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；
（2）解：根据题意，，所以；
（3）解：因为，所以；
（4）解：因为，所以，
所以
3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析
【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

考法二 平面向量的减法运算
【例2-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．
(1) (2) (3) (4)
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（2）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（3）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（4）解：作，，则，即即为所求作的向量.

【例2-2】（2023·河南周口）化简下列各式：
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).
【解析】(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
【一隅三反】
1．（2023下·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图，已知向量
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示；
(5)用表示
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】（1）.
（2）.
（3）
（4）.
（5）
2（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD中，设，，，试用，，分别表示，．
【答案】，.
【解析】由题图知：，
又，所以.
考法三 平面向量的数乘
【例3】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.
【解析】（1），，所以，所以，共线.
（2），,所以，所以，共线.
（3）因为，，所以，所以.所以，共线.
【一隅三反】
．（2023下·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)；
(7)；(8).
【解析】（1）原式．
（2）原式
（3）原式=.
（4）原式=
.
（5）
（6）
（7）
（8）
考法四 平面向量共线定理
【例4】（2023新疆）设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)
【解析】（1）证明：因为，所以与共线.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使.
因为，不共线，所以所以.
（3）假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以.
【一隅三反】
1．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题意知，三点共线，故,且共线，
故不妨设，则，所以，解得，故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)试确定实数，使和同向．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）证明：因为，，，
所以．所以，共线．
又因为，有公共点，所以，，三点共线．
（2）解：因为与同向，所以存在实数，使，
即．所以．
因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以．
3.（2024·上海）设是不共线的两个非零向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若，且三点共线，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.
【解析】证明：（1），所以.
又因为为公共点，所以三点共线.
（2）设，则
解得或
所以实数的值为.
（3），
因为三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
考法五 向量判断三角形的四心
【例5】（2023·山西太原）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【答案】A
【解析】设中点为，因为， 所以，即，
因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·重庆江北）（多选）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，
若，可得M为BC的中点，所以A正确；

对于B中，若M为的重心，则满足，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三点共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，由，

可得，所以D正确．
故选：ACD
2．（2023·山东枣庄·）（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】A. 为重心，所以,
所以,
所以,
所以，所以该选项正确.
B.，
由于G是重心，所以，所以，
同理,所以，
所以该选项正确.
C.,所以该选项错误.
D.,
所以,所以该选项正确.
故选：ABD

3．（2023·重庆万州）（多选）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为内心
C．
D．对于平面内任意一点，总有
【答案】ACD
【解析】A：由为的重心，则，，，
所以，即，正确；
B：，由为外心，所以，
即，同理，故为垂心，错误.
C：，所以，
因为，故，而，
所以，即，正确.
D：，所以，
因为，故，正确.
故选：ACD
考法六 平面向量在几何中应用
【例6】（2024北京）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【答案】(1)，，，，
(2)证明见解析
【解析】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，，
，；
（2）证明：因为，，所以，
所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．
【一隅三反】
1．（2023·河北）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.
【答案】，，
【解析】是平行四边形，，，，
，
，
.
2．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
单选题
1．（2023吉林）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
2（2023·安徽）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋＝0B．＋＋＝0
C．＋＋＝D．＋＋＝
【答案】D
【解析】＋＋＝＋＝0，A正确；
＋＋＝＋＋＝0，B正确；
＋＋＝＋＝＋＝，C正确；
＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，
故选：D．
3．（2023广西）作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为时，则这两个力的合力大小为（ ）N.
A．30B．60C．90D．120
【答案】B
【解析】如图，，，，作平行四边形，则，
因为，所以四边形是菱形，又，是等边三角形，．
故选：B．
4．（2013北京）若是内一点，，则是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】D
【解析】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，
所以是的重心.
故选：D
5．（2023湖北）设是两个不共线的向量,若向量与共线,则( )
A．λ=0B．λ=-1
C．λ=-2D．λ=-
【答案】D
【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.
6．（2024·山东）已知△ABC，点G、M满足，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】满足，∴为的重心，
∴＝＝，
又∵，
∴
．
故选：A．
7．（2023·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【答案】C
【解析】取BC的中点D，如图所示，
连接OD，AM，BM，CM．
因为，
所以，
又，则，
所以，
又由于为的外心，
所以，
因此有．同理可得，，
所以点是的垂心．
故选：C．
8．（2023甘肃省）已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，由得，
即，即，故，
故与以为底，其高的比为，故．
故选：C．
多选题
9．（2023下·陕西西安·高一期中）下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
【答案】ABC
【解析】对于A，，故正确；
对于B，，故正确；
对于C，因为，所以，所以共线，故正确；
对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.
故选：ABC.
10．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
【答案】BC
【解析】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；
向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，
只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确；
由平面向量的数量积可知，若，则，
所以，无法得到，故C不正确；
设线段的中点为，若点为的重心，
则，而，所以，即D正确.
故选：BC．
11．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．和不能构成一组基底
【答案】BCD
【解析】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；
由，所以正确，故B正确；
由正八边形知，，且,
根据向量加法法则可知：
为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，
所以，又，
与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；
在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.
故选：BCD
12．（2023下·广东·高一校联考期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点三点共线
C．若点是的重心，则
D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心
【答案】ACD
【解析】对于A，，为等边三角形，故A正确；
对于B，，，、、三点不共线，故B错误；
对于C，设，，分别为，，的中点，则，
，，
，即，故C正确；
对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确．
故选：ACD．
填空题
13．（2024·全国·高一课时练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量的运算法则，可得．
故选：A.
14．（2024上·辽宁大连·高一期末）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 .
【答案】
【解析】与共线，，，
又，是两个不共线的向量，，解得.
故答案为：.
15．（2023上·湖南邵阳）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
【答案】
【解析】
，
所以，，.故答案为：.
16．（2022·高一课时练习）若向量，，则 .
【答案】
【解析】；
；
；
.
故答案为：.
解答题
17．（2023·高一课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
18．（2024湖南）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，
【解析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
19．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．

(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】1）
．
（2）
．

20．（2023下·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.

【答案】，，
【解析】∵，
∴；
又，；
∴.
21．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.

(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
22．（2023江苏）如图，在平行四边形中，设, , 则
(1)当,满足什么条件时，与垂直?
(2)当,满足什么条件时，?
(3)与可能是相等向量吗?
(4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角?
【答案】(1)
(2)
(3)不可能相等
(4)
【解析】由向量加减法的几何意义可知，，，
当时，，即平行四边形的相邻边长相等，故平行四边形为菱形，而菱形的对角线与互相垂直，所以与互相垂直，
故.
（2）当时，，即平行四边形的对角线长相等，此时平行四边形为矩形，所以，即时，.
（3）不可能相等，
因为平行四边形的对角线方向不同，所以与的方向一定不同，故不可能是相等向量.
（4）当时，由（1）可知平行四边形为菱形，而菱形的对角线会平分，即会平分与所夹的角，
故.