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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精品课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精品课后作业题，文件包含人教版高中数学必修二精讲精练83简单几何体的表面积与体积原卷版docx、人教版高中数学必修二精讲精练83简单几何体的表面积与体积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
考法一 多面积的表面积
【例3-1】（2023下·浙江台州·高一校联考期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，连接交点为O，
则对角线，，所以，
因为直四棱柱的底面是菱形，所以，
所以，
∴直四棱柱的侧面积.
故选：D.
【例1-2】（2023下·山东临沂·高一统考期中）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是，
正四面体，则棱长为，
它的表面积是，
正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．
故选：D．
【例1-3】（2024上·北京昌平）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023吉林长春）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D
2．（2023下·甘肃酒泉）如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接交于点，取的中点，分别连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以底面，且，
在等腰中，为的中点，所以，即为正四棱锥的斜高，
在直角中，，可得，
所以正四棱锥的侧面积为.
故选：B.
3．（2023下·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，
所以该四棱台的表面积为，
故选：C.
考法二 多面积的体积
【例2-1】（2024下·云南昆明）正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】如图，正三棱柱，其侧面展开图为一个矩形，
当矩形长、宽分别为和时，正三棱柱的高为4，底面的边长为2，
此时；
当矩形长、宽分别为4和6时，正三棱柱的高为6，底面的边长为，
此时.
所以正三棱柱的体积为或.
故选：D
【例2-2】（2024上·北京）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为面所以.故选：D.
【例2-3】（2024上·江苏泰州）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．26B．28C．30D．32
【答案】B
【解析】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024上·四川南充）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．3C．D．6
【答案】A
【解析】因为正三棱柱，
所以，
则
，
故选：A.
2．（2023上·海南 ）若正三棱台的上､下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正三棱台上下底面的中心为，连接，
过作交于点，
因为，所以，，
因为垂直于上下底面且，所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，，
所以三棱台的体积为，
故选：A.
3．（2023下·广西柳州·高一统考阶段练习）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是 .
【答案】6
【解析】
如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
阳马的体积为2，
即，所以，即原长方体的体积是6.
故答案为：6.
考法三 旋转体的表面积
【例3-1】（2023下·新疆喀什）已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则，，
由题意，圆柱的表面积为.
故答案为：.
【例3-2】（2024上·辽宁 ）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.
【例3-3】（2023·广西南宁）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，设圆台上底面半径，下底面半径，
设，则，
在平面内，过点作，则圆台的高，
圆台轴截面面积为，所以，
所以圆台侧面积为.
故答案为：
【一隅三反】
1（2024上·江苏南京）（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】当圆柱底面半径为，高为时，表面积；
当圆柱底面半径为，高为时，表面积.
故选：CD
2．（2023上·上海浦东新）若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 .
【答案】8
【解析】设圆柱的母线长为，则，，故答案为：8.
3．（2023上·上海青浦·）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】设圆锥母线长为l,扇形圆心角为，则，故，则.
故答案为：.
4．（2024下·福建莆田）已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为
【答案】
【解析】作出圆锥、圆台的轴截面，如图所示，
圆锥的母线为，底面半径，圆台上底面半径，
由三角形相似可得，解得，则圆台母线长，圆台的侧面积为.
考法四 旋转体的体积
【例4-1】（2023·湖南岳阳 ）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由扇形面积公式得此圆锥的侧面积为，
圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：C.
【例4-2】（2023北京）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
【答案】ABD
【解析】如图所示，
设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，
体积，
表面积.
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2024上·河南·）已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为且周长之和为，则该圆台的高为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，
则由题意可得，解得，
则，解得．
故选：D．
2．（2023上·湖南）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，
设圆柱的底面半径为，高为，则，则，
因为新几何体的高为5，所以圆柱的高为5，
即，解得，
所以圆柱的体积为.
故选：C.
3．（2024·辽宁大连）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积与球的表面积相等
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和
【答案】AD
【解析】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确；
对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为，
而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误；
对于C，圆柱的表面积，C错误；
对于D，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，因此，D正确.
故选：AD
4．（2024·陕西咸阳）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意，由扇形弧长得 ， ①
又圆锥的高为，
则，②
由①②可得 ，
所以圆锥的表面积.
故答案为：.
考法五 组合体的体积与表面积
【例5-1】（2023下·山东滨州·高一统考期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面棱长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.
故选：B
【例5-2】（2023下·湖南长沙 ）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正六边形的边长为，由题意正六棱柱的高为，
因为正六棱锥的高与底面边长的比为，所以正六棱锥的高为，正六棱锥的母线长为，
正六棱锥的侧面积；正六棱柱的侧面积，所以.故选：B.
【一隅三反】
1（2023上·江苏盐城 ）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米B．立方米
C．立方米D．立方米
【答案】D
【解析】圆柱体积为，圆锥体积为，
所以，该组合体的体积为.
故选：D
2．（2023下·湖南岳阳·高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆柱、圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以陀螺的表面积是.故选：B.
3．（2023上·河南周口）中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
可得该瓷器的侧面积为．
故选：D
4．（2023·河南 ）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，
所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
考法六 外接球与内切球
【例6-1】（2024上·重庆）正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面，
外接球半径为，内切球半径为，设棱长为，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，由，
即解得（负值舍去）；
由等体积法得到，所以，
所以.
故选：C.
【例6-2】（2024·四川德阳 ）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，正四面体在正方体中，
一个球与正四面体的六条棱都相切，则该球与正方体内切，
正四面体的棱长为，则正方体的边长为，
也即是球的直径，半径，
所以体积为.
故选：B
【一隅三反】
1（2023湖北）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．B．56π
C．14πD．16π
【答案】C
【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得
∴长方体的体对角线长为，
∴其外接球的半径为
∴．
故选：C
2．（2024·辽宁·校联考一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
3．（2024下·重庆 ）已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则，且平面，
所以，故C到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.
故选：C
4．（2024江西）已知三棱锥中，，，三点均在球心为的球表面上，且，，三棱锥的体积为，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
由正弦定理得，，
，
∵三棱锥的体积为，设的外接圆的圆心为，则平面，
∴的外接圆的半径为，∵
即，解得，
而，∴球的半径为，
∴球的表面积为.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测）已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】如图，为中点，，设在底面的投影为，为的中心，，
设正四面体棱长为，则，，
，
正四面体的体积为，
正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为，
设为内切球的球心，所以，
即，
则有，即，解可得，
因为正四面体的内切球半径为1，所以，解得：，
若四面体的外接球的球心为，则外接球半径，解得.
故选：D.
考法七 最值问题
【例7-1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点，过作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设正三棱柱为，其上下底面的中心为,
由于为正三角形,故也为其中心,
设正三棱柱底面正三角形边长为，
由题意可知为正三角形，故，
又，
故，
所以正三棱柱为的高为，
故该正三棱柱侧面积为，
当时，取到最大值为1，
故的最大值为，
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳 习）在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，所以三角形是直角三角形，
设的内切圆半径为，则，
，所以三棱柱内能放置的最大球的半径为，
则最大球的表面积是.
故选：A
2．（2024上·贵州黔东南 ）现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上下底面及侧面都相切，
作该圆台型包装盒的轴截面得等腰梯形，截内切球得该梯形的内切圆，如图，
其中点分别是上下底面圆圆心，作于，连接，则，，
显然，而，则，解得，
所以该包装盒的容积最小为.
故选：D
3．（2024下·四川 ）已知正三棱柱的侧面积为．当这个正三棱柱的所有棱长之和最小时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】
如图，正三棱柱中，设底面边长为，高为，依题意知，即，而正三棱柱的所有棱长之和为，
由基本不等式可得：，当且仅当时取等号.由解得：.
设上下底面的中心分别为,则由正三棱柱的对称性知它的外接球的球心为的中点，设外接球半径为R，连接,
则易得,在中，,故外接球的表面积为.
故答案为：.
4．（2024上·江苏 ）某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形，
则正六边形的边长为，
其最大内切圆的半径为，
正方体的体对角线的一半为圆锥的高，
所以圆锥的最大体积为.
单选题
1（2023·陕西西安 ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
2（2024上·四川南充 ）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为，则，故选：B.
3．（2024上·河北张家口 ）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
4．（2023上·湖南岳阳 ）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为，
正四面体的表面积为，两者之比为，故选：B.
5．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的棱长为2，根据图形，取正方体一条棱的中点，连接，
则，且，所以，
因为侧面为等边三角形，所以.
所以该八面体的表面积.
故选：B.
6．（2023下·贵州黔西·高一统考期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，
正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，
连接并延长交于，则为的中点，且，
依题意，，正三角形的边长为2，
所以，，，
，
所以该三棱锥的侧面积为.
故选：B
7．（2023·河北 ）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图正四棱台中，连接，，过点、分别作、，交于点、，
依题意，，，
则，所以，
所以正四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积，
又正四棱柱的侧面积，
所以该柷（含底座）的侧面积约为；
故选：B
8（2024·陕西渭南 ）如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示：
由可得，
所以四边形与四边形的面积之比为，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的；
当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为.
故选：C
多选题
9．（2023下·新疆昌吉·高一统考期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（ ）
A．该正六棱台的上底面积是
B．该正六棱台的侧面面积是
C．该正六棱台的表面积是
D．该正六棱台的高是
【答案】ACD
【解析】如图在正六棱台中，
因为，
所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：
，
所以梯形的面积为：，
故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确；
同理下底面积为：，
所以该正六棱台的表面积是,故C正确；
正六棱台的高为，D正确.
故选：ACD.
10．（2024下·重庆 ）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．该圆锥的母线长为2
B．该圆锥的体积为
C．从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，
又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，
设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；
对于B中，因为，且母线长为，
所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；
对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，
则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；
对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，
设其顶角为，则该三角形的面积为，
当截面为轴截面时，，则，
所以，当时，，所以D不正确.
故选：AB.
11．（2023下·全国·高一随堂练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为D．该圆台的体积为
【答案】BCD
【解析】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
12．（2023下·浙江温州·高一校联考期中）阳马和鳖臑［biē nà］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（ ）
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的D．鳖臑内切球半径为
【答案】BD
【解析】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；
对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，
又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为，所以选项B正确；
对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知面,
所以，
又正方体的体积为，故鳖臑的体积为正方体的，所以选项C错误；
对于选项D，设鳖臑内切球半径为，由选项C知，鳖臑的体积，
则，
又，所以，所以选项D正确.
故选：BD
填空题
13．（2023上·山东 ）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设正四棱台的侧高为，高为，
棱台的侧面积，所以.
所以.
故答案为：
14．（2024上·辽宁抚顺 ）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量.等级划分如下表：
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为 .
【答案】大雨
【解析】由题可知水桶的上底面半径，下底面半径，桶深，
水面半径，水深，
则水桶中水的体积，
则日降雨量为，
故当日的降雨量等级为大雨.
故答案为：大雨
15．（2024上·山东济南 ）在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】在平面上的投影是，因为是正四棱锥，
所以是正方形对角线的交点，连结，
，，
所以，于是.
故答案为：.
16．（2023上·上海· ）在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积是
【答案】
【解析】如图所示，设底面对角线，，交点为O，
对角线，，，
所以，即，故，
由，即，故，
因为底面是菱形，
所以，
即，
所以该直四棱柱的侧面积为，
表面积为.
故答案为：
解答题
17．（2023下·福建厦门 ）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．
(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为
(2)表面积为，体积为
【解析】（1）如图：
在正六棱锥中，，
H为中点，所以．
因为是正六边形的中心，
所以为正六棱锥的高．
，
在中，，
所以．
在中，．
在中，，，
所以．
故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．
（2）的面积为，
的面积为，
所以正六棱锥的表面积为，
体积为
18．（2023上·上海浦东新 ）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)元
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
19．（2023下·广东东莞 ）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积．
【答案】(1)6
(2)
【解析】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h，
由题意知，侧面展开图的弧长，
∴圆锥高，
由其轴截面的面积为.
解得，则.
即其母线长为.
（2）
设正四棱柱的高为，
所以圆锥体积为.
由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为=
所以该几何体的体积为=.
20．（2023上·江西景德镇 ）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球体积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图所示：
令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，，
又，
又因为的面积为，
∴，
又，所以，
∴侧面积为．
（2）如图所示：
设内切球半径为，球心在上面，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，
则有，解得，
所以圆锥的内切球体积为.
21．（2023·湖北）已知正四面体的内切球的表面积为．
(1)求该内切球的半径；
(2)过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，求所得截面的面积．
【答案】(1)3
(2)
【解析】（1）设内切球半径为，由题意得，，解得，
即内切球半径为3．
（2）如图，为正四面体的内切球球心，为内接圆圆心，由（1）知．
设正四面体的棱长为，由三角形的性质可得，
在中，，
正四面体外接球的球心与内接球的球心重合，，
在中，，解得，
，
在中，，
过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为．
22（2023下·山西运城·高一统考期中）如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点．
(1)当为线段的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当在线段上移动时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由，
可得，所以，
在直三棱柱中，可得底面，即点到底面的距离
又因为为中点，可得点到底面的距离等于点到底面的距离的，
所以．
（2）将绕旋转到与在同一平面，如图所示，
连接交于点，当与重合时，取得最小值，最小值即长，
在中，，可得，
故，所以，
又在中，，，，
所以，所以，
故的最小值为．
日降雨量/mm
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
考法一 多面积的表面积
【例3-1】（2023下·浙江台州·高一校联考期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，连接交点为O，
则对角线，，所以，
因为直四棱柱的底面是菱形，所以，
所以，
∴直四棱柱的侧面积.
故选：D.
【例1-2】（2023下·山东临沂·高一统考期中）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是，
正四面体，则棱长为，
它的表面积是，
正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．
故选：D．
【例1-3】（2024上·北京昌平）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023吉林长春）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D
2．（2023下·甘肃酒泉）如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接交于点，取的中点，分别连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以底面，且，
在等腰中，为的中点，所以，即为正四棱锥的斜高，
在直角中，，可得，
所以正四棱锥的侧面积为.
故选：B.
3．（2023下·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，
所以该四棱台的表面积为，
故选：C.
考法二 多面积的体积
【例2-1】（2024下·云南昆明）正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】如图，正三棱柱，其侧面展开图为一个矩形，
当矩形长、宽分别为和时，正三棱柱的高为4，底面的边长为2，
此时；
当矩形长、宽分别为4和6时，正三棱柱的高为6，底面的边长为，
此时.
所以正三棱柱的体积为或.
故选：D
【例2-2】（2024上·北京）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为面所以.故选：D.
【例2-3】（2024上·江苏泰州）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．26B．28C．30D．32
【答案】B
【解析】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024上·四川南充）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．3C．D．6
【答案】A
【解析】因为正三棱柱，
所以，
则
，
故选：A.
2．（2023上·海南 ）若正三棱台的上､下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正三棱台上下底面的中心为，连接，
过作交于点，
因为，所以，，
因为垂直于上下底面且，所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，，
所以三棱台的体积为，
故选：A.
3．（2023下·广西柳州·高一统考阶段练习）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是 .
【答案】6
【解析】
如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
阳马的体积为2，
即，所以，即原长方体的体积是6.
故答案为：6.
考法三 旋转体的表面积
【例3-1】（2023下·新疆喀什）已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则，，
由题意，圆柱的表面积为.
故答案为：.
【例3-2】（2024上·辽宁 ）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.
【例3-3】（2023·广西南宁）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，设圆台上底面半径，下底面半径，
设，则，
在平面内，过点作，则圆台的高，
圆台轴截面面积为，所以，
所以圆台侧面积为.
故答案为：
【一隅三反】
1（2024上·江苏南京）（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】当圆柱底面半径为，高为时，表面积；
当圆柱底面半径为，高为时，表面积.
故选：CD
2．（2023上·上海浦东新）若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 .
【答案】8
【解析】设圆柱的母线长为，则，，故答案为：8.
3．（2023上·上海青浦·）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】设圆锥母线长为l,扇形圆心角为，则，故，则.
故答案为：.
4．（2024下·福建莆田）已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为
【答案】
【解析】作出圆锥、圆台的轴截面，如图所示，
圆锥的母线为，底面半径，圆台上底面半径，
由三角形相似可得，解得，则圆台母线长，圆台的侧面积为.
考法四 旋转体的体积
【例4-1】（2023·湖南岳阳 ）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由扇形面积公式得此圆锥的侧面积为，
圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：C.
【例4-2】（2023北京）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
【答案】ABD
【解析】如图所示，
设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，
体积，
表面积.
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2024上·河南·）已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为且周长之和为，则该圆台的高为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，
则由题意可得，解得，
则，解得．
故选：D．
2．（2023上·湖南）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，
设圆柱的底面半径为，高为，则，则，
因为新几何体的高为5，所以圆柱的高为5，
即，解得，
所以圆柱的体积为.
故选：C.
3．（2024·辽宁大连）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积与球的表面积相等
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和
【答案】AD
【解析】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确；
对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为，
而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误；
对于C，圆柱的表面积，C错误；
对于D，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，因此，D正确.
故选：AD
4．（2024·陕西咸阳）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意，由扇形弧长得 ， ①
又圆锥的高为，
则，②
由①②可得 ，
所以圆锥的表面积.
故答案为：.
考法五 组合体的体积与表面积
【例5-1】（2023下·山东滨州·高一统考期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面棱长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.
故选：B
【例5-2】（2023下·湖南长沙 ）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正六边形的边长为，由题意正六棱柱的高为，
因为正六棱锥的高与底面边长的比为，所以正六棱锥的高为，正六棱锥的母线长为，
正六棱锥的侧面积；正六棱柱的侧面积，所以.故选：B.
【一隅三反】
1（2023上·江苏盐城 ）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米B．立方米
C．立方米D．立方米
【答案】D
【解析】圆柱体积为，圆锥体积为，
所以，该组合体的体积为.
故选：D
2．（2023下·湖南岳阳·高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆柱、圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以陀螺的表面积是.故选：B.
3．（2023上·河南周口）中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
可得该瓷器的侧面积为．
故选：D
4．（2023·河南 ）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，
所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
考法六 外接球与内切球
【例6-1】（2024上·重庆）正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面，
外接球半径为，内切球半径为，设棱长为，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，由，
即解得（负值舍去）；
由等体积法得到，所以，
所以.
故选：C.
【例6-2】（2024·四川德阳 ）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，正四面体在正方体中，
一个球与正四面体的六条棱都相切，则该球与正方体内切，
正四面体的棱长为，则正方体的边长为，
也即是球的直径，半径，
所以体积为.
故选：B
【一隅三反】
1（2023湖北）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．B．56π
C．14πD．16π
【答案】C
【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得
∴长方体的体对角线长为，
∴其外接球的半径为
∴．
故选：C
2．（2024·辽宁·校联考一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
3．（2024下·重庆 ）已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则，且平面，
所以，故C到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.
故选：C
4．（2024江西）已知三棱锥中，，，三点均在球心为的球表面上，且，，三棱锥的体积为，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
由正弦定理得，，
，
∵三棱锥的体积为，设的外接圆的圆心为，则平面，
∴的外接圆的半径为，∵
即，解得，
而，∴球的半径为，
∴球的表面积为.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测）已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】如图，为中点，，设在底面的投影为，为的中心，，
设正四面体棱长为，则，，
，
正四面体的体积为，
正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为，
设为内切球的球心，所以，
即，
则有，即，解可得，
因为正四面体的内切球半径为1，所以，解得：，
若四面体的外接球的球心为，则外接球半径，解得.
故选：D.
考法七 最值问题
【例7-1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点，过作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设正三棱柱为，其上下底面的中心为,
由于为正三角形,故也为其中心,
设正三棱柱底面正三角形边长为，
由题意可知为正三角形，故，
又，
故，
所以正三棱柱为的高为，
故该正三棱柱侧面积为，
当时，取到最大值为1，
故的最大值为，
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳 习）在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，所以三角形是直角三角形，
设的内切圆半径为，则，
，所以三棱柱内能放置的最大球的半径为，
则最大球的表面积是.
故选：A
2．（2024上·贵州黔东南 ）现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上下底面及侧面都相切，
作该圆台型包装盒的轴截面得等腰梯形，截内切球得该梯形的内切圆，如图，
其中点分别是上下底面圆圆心，作于，连接，则，，
显然，而，则，解得，
所以该包装盒的容积最小为.
故选：D
3．（2024下·四川 ）已知正三棱柱的侧面积为．当这个正三棱柱的所有棱长之和最小时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】
如图，正三棱柱中，设底面边长为，高为，依题意知，即，而正三棱柱的所有棱长之和为，
由基本不等式可得：，当且仅当时取等号.由解得：.
设上下底面的中心分别为,则由正三棱柱的对称性知它的外接球的球心为的中点，设外接球半径为R，连接,
则易得,在中，,故外接球的表面积为.
故答案为：.
4．（2024上·江苏 ）某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形，
则正六边形的边长为，
其最大内切圆的半径为，
正方体的体对角线的一半为圆锥的高，
所以圆锥的最大体积为.
单选题
1（2023·陕西西安 ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
2（2024上·四川南充 ）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为，则，故选：B.
3．（2024上·河北张家口 ）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
4．（2023上·湖南岳阳 ）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为，
正四面体的表面积为，两者之比为，故选：B.
5．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的棱长为2，根据图形，取正方体一条棱的中点，连接，
则，且，所以，
因为侧面为等边三角形，所以.
所以该八面体的表面积.
故选：B.
6．（2023下·贵州黔西·高一统考期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，
正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，
连接并延长交于，则为的中点，且，
依题意，，正三角形的边长为2，
所以，，，
，
所以该三棱锥的侧面积为.
故选：B
7．（2023·河北 ）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图正四棱台中，连接，，过点、分别作、，交于点、，
依题意，，，
则，所以，
所以正四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积，
又正四棱柱的侧面积，
所以该柷（含底座）的侧面积约为；
故选：B
8（2024·陕西渭南 ）如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示：
由可得，
所以四边形与四边形的面积之比为，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的；
当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为.
故选：C
多选题
9．（2023下·新疆昌吉·高一统考期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（ ）
A．该正六棱台的上底面积是
B．该正六棱台的侧面面积是
C．该正六棱台的表面积是
D．该正六棱台的高是
【答案】ACD
【解析】如图在正六棱台中，
因为，
所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：
，
所以梯形的面积为：，
故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确；
同理下底面积为：，
所以该正六棱台的表面积是,故C正确；
正六棱台的高为，D正确.
故选：ACD.
10．（2024下·重庆 ）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．该圆锥的母线长为2
B．该圆锥的体积为
C．从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，
又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，
设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；
对于B中，因为，且母线长为，
所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；
对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，
则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；
对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，
设其顶角为，则该三角形的面积为，
当截面为轴截面时，，则，
所以，当时，，所以D不正确.
故选：AB.
11．（2023下·全国·高一随堂练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为D．该圆台的体积为
【答案】BCD
【解析】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
12．（2023下·浙江温州·高一校联考期中）阳马和鳖臑［biē nà］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（ ）
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的D．鳖臑内切球半径为
【答案】BD
【解析】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；
对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，
又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为，所以选项B正确；
对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知面,
所以，
又正方体的体积为，故鳖臑的体积为正方体的，所以选项C错误；
对于选项D，设鳖臑内切球半径为，由选项C知，鳖臑的体积，
则，
又，所以，所以选项D正确.
故选：BD
填空题
13．（2023上·山东 ）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设正四棱台的侧高为，高为，
棱台的侧面积，所以.
所以.
故答案为：
14．（2024上·辽宁抚顺 ）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量.等级划分如下表：
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为 .
【答案】大雨
【解析】由题可知水桶的上底面半径，下底面半径，桶深，
水面半径，水深，
则水桶中水的体积，
则日降雨量为，
故当日的降雨量等级为大雨.
故答案为：大雨
15．（2024上·山东济南 ）在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】在平面上的投影是，因为是正四棱锥，
所以是正方形对角线的交点，连结，
，，
所以，于是.
故答案为：.
16．（2023上·上海· ）在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积是
【答案】
【解析】如图所示，设底面对角线，，交点为O，
对角线，，，
所以，即，故，
由，即，故，
因为底面是菱形，
所以，
即，
所以该直四棱柱的侧面积为，
表面积为.
故答案为：
解答题
17．（2023下·福建厦门 ）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．
(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为
(2)表面积为，体积为
【解析】（1）如图：
在正六棱锥中，，
H为中点，所以．
因为是正六边形的中心，
所以为正六棱锥的高．
，
在中，，
所以．
在中，．
在中，，，
所以．
故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．
（2）的面积为，
的面积为，
所以正六棱锥的表面积为，
体积为
18．（2023上·上海浦东新 ）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)元
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
19．（2023下·广东东莞 ）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积．
【答案】(1)6
(2)
【解析】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h，
由题意知，侧面展开图的弧长，
∴圆锥高，
由其轴截面的面积为.
解得，则.
即其母线长为.
（2）
设正四棱柱的高为，
所以圆锥体积为.
由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为=
所以该几何体的体积为=.
20．（2023上·江西景德镇 ）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球体积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图所示：
令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，，
又，
又因为的面积为，
∴，
又，所以，
∴侧面积为．
（2）如图所示：
设内切球半径为，球心在上面，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，
则有，解得，
所以圆锥的内切球体积为.
21．（2023·湖北）已知正四面体的内切球的表面积为．
(1)求该内切球的半径；
(2)过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，求所得截面的面积．
【答案】(1)3
(2)
【解析】（1）设内切球半径为，由题意得，，解得，
即内切球半径为3．
（2）如图，为正四面体的内切球球心，为内接圆圆心，由（1）知．
设正四面体的棱长为，由三角形的性质可得，
在中，，
正四面体外接球的球心与内接球的球心重合，，
在中，，解得，
，
在中，，
过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为．
22（2023下·山西运城·高一统考期中）如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点．
(1)当为线段的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当在线段上移动时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由，
可得，所以，
在直三棱柱中，可得底面，即点到底面的距离
又因为为中点，可得点到底面的距离等于点到底面的距离的，
所以．
（2）将绕旋转到与在同一平面，如图所示，
连接交于点，当与重合时，取得最小值，最小值即长，
在中，，可得，
故，所以，
又在中，，，，
所以，所以，
故的最小值为．
日降雨量/mm
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
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