人教版高中数学必修二 精讲精练第八章 立体几何初步章末小结及测试（2份，原卷版+解析版）

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第八章 立体几何初步 章末小结及测试考法一 空间几何体的结构特征【例1-1】（2024高一下·全国·专题练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【例1-2】（2024广东深圳）（多选）下列说法错误的是（    ）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D．平行于同一直线的两直线平行【例1-3】（2024黑龙江）下列说法中不正确的是（    ）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【例1-4】（2023四川内江）（多选）下列说法中正确的有（    ）A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形.C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.考法二 空间几何体的直观图【例2-1】（2023甘肃）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）A． B．2 C． D．【例2-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．四边形的周长为D．四边形的面积为考法三 空间几何体的体积与表面积【例3-1】（2024·黑龙江）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（    ）  A． B． C． D．【例3-2】（2024山东潍坊）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【例3-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥中，四边形为平行四边形，分别为侧棱的中点，过三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为，则（   ）  A． B． C． D．【例3-4】（2023·河北邢台 ）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（    ）A． B． C． D．考法四 外接球与内切球【例4-1】（2024·山东菏泽）如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．  【例4-2】（2023浙江·期末）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ．【例4-3】（2024广东佛山 ）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为 .【例4-4】（2024北京）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ）A． B． C． D．考法五 4个基本事实【例5-1】（2024河南洛阳）下列命题中，真命题有（    ）①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；④，若，，则或.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例5-2】（2024河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ）A．过点BB．不一定过点BC．的延长线与的延长线的交点在上D．的延长线与的延长线的交点在上【例5-3】（2024上海·阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④考法六 空间几何体的平行【例6-1】（2024广东）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.【例6-2】（2024湖北）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；【例6-3】（2023广东）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；【例6-4】（2024江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.考法七 空间几何体的垂直【例7-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图；在直三棱柱中，，，．求证；  【例7-2】（2024陕西渭南 ）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：  (1)平面；(2)．【例7-3】（2024云南）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.【例7-4】．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．考法八 空间角【例8-1】（2023山东）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ）A． B． C． D．【例8-2】（2024四川宜宾·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【例8-3】（2024陕西）四边形是正方形，平面，且．求：  (1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．考法九 空间距离【例9-1】（2023北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ）A． B．a C． D．【例9-2】（2024上海 ）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 .【例9-3】（22-23高一·全国·课时练习）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为 ．考法十 数学符号表示定理的判断【例10-1】（2024·四川巴中）已知直线m，n与平面，、，下列命题中正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【例10-2】（2024陕西西安 ）设为两条直线，为两个平面，若，则（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考法十一 截面问题【例11-1】（2023陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ）A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥【例11-2】（2024云南红河·期中）如图，正方体的棱长为2，、分别是、的中点，沿过、、点的截面截去四面体，再沿过三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8【例11-3】（2024陕西 ）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ）①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.  A．1 B．2 C．3 D．4【例11-4】（2023·广西玉林·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（    ）  A． B． C． D．4【例11-5】（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（    ）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面考法十二 轨迹长度【例12-1】（2024·山东潍坊 ）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（   ）A． B． C． D．1【例12-2】．（2023浙江绍兴 ）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（    ）A． B． C． D．【例12-3】（2023四川内江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ）A． B． C． D．考法十三 动点问题【例13-1】（2024云南）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【例13-2】（2024上海）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.【例13-3】（2024·宁夏中卫）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．考法十四 最值【例14-1】（2024·江西）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（    ）A． B． C． D．【例14-2】（2023湖南 ）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）  A． B． C． D．【例14-3】（2024·山东 ）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（   ）A．8 B．12 C．16 D．24【例14-4】（2024湖南）已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（    ）A． B． C．2 D．单选题1．（2024陕西咸阳·阶段练习）下列说法，正确的有（    ）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面2．（2024·湖北武汉）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（    ）  A． B． C． D．3（2023·全国·假期作业）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（    ）  A．平面 B．平面C．平面 D．平面4．（2023江苏 ）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一随堂练习）已知直线a，b异面，下列判断正确的是（    ）A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直6．（2024·江西赣州 ）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（    ）A． B． C． D．7．（2024·安徽合肥）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ）A． B． C． D．8．（2024·吉林·模拟预测）某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后浇注为一个棱长为的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要（    ）A．5个这样的实心铁球 B．6个这样的实心铁球C．7个这样的实心铁球 D．8个这样的实心铁球多选题9．（2023·浙江温州）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（    ）  A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为10．（2024·江苏徐州）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（    ）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为11．（2024江西 ）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（  ）A．   B．  C．   D．  12．（2023江西·期中）在正方体中，，分别是，的中点，则（   ）A．平面B．C．平面截此正方体所得截面为四边形D．平面截此正方体所得截面为四边形填空题13．（2023四川 ）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .14．（2023上海·期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .15．（2023广东）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为 ．  16．（2023北京·开学考试）正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则线段的最小值 .  解答题17．（2024内蒙古包头）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．  (1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积．18（2023上海闵行）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．  (1)求证：平面；(2)求证：⊥平面；(3)求三棱锥的体积．19（2024江西宜春·期中）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.(2)点D1到直线AC的距离.(3)直线AB与面A1DCB1的距离.20．（2024河北沧州·期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.(1)求四棱锥的体积；(2)证明：(3)求直线与平面所成角的正弦值.21．（2024吉林）如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.  (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22（2024·四川遂宁 ）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.  (1)求证：；(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.