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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品随堂练习题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品随堂练习题，文件包含人教版高中数学选择性必修一精讲精练12空间向量基本定理精讲原卷版docx、人教版高中数学选择性必修一精讲精练12空间向量基本定理精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
考点一 空间向量的基底的概念及辨析
【例1】（2023春·河南开封）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；
对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；
对于C，假设向量共面，则，
即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023广东广州）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不是；
对于B，，则向量共面，B不是；
对于D，，则向量共面，D不是；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C是.
故选：C
2．（2023春·湖南）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，无解.
所以，与构成一个基底.
B.因为，所以，所以排除B；
C.因为，所以，所以排除C；
D.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，所以，
所以，与不构成一个基底，排除D.
故选：A
3．（2023湖南长沙）给出下列命题:
①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；
②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；
③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；
④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.
③中由共面且过相同点，故共面.
下面证明①④正确.
①假设与共面，则存在实数，使，
∵与共线，，∴存在实数，使，
∵，∴，从而，∴与共面，与条件矛盾.
∴与不共面.同理可证④也是正确的.故选：D.
考点二 空间向量基底表示向量
【例2-1】（2023·北京）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：A.
【例2-2】（2023春·江苏常州）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【解析】矩形中，,所以.
因为，所以.
因为,，所以.
所以.
所以，所以.故选：A
【一隅三反】
2．（2023春·江苏常州）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A
2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为P是的中点，
所以，
又因为点Q在上，且，
所以
，
所以，
故选：C.
3．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以所以.
故答案为:.
4．（2023·福建福州）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中点为，
三个式子相加可得,
又
,
故选：D
考点三 空间向量基底的应用
【例3-1】（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【例3-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】证明见解析
【解析】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
（2）由题意知，，，，
则，
，
所以
3．（2023广西）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
考点一 空间向量的基底的概念及辨析
【例1】（2023春·河南开封）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；
对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；
对于C，假设向量共面，则，
即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023广东广州）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不是；
对于B，，则向量共面，B不是；
对于D，，则向量共面，D不是；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C是.
故选：C
2．（2023春·湖南）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，无解.
所以，与构成一个基底.
B.因为，所以，所以排除B；
C.因为，所以，所以排除C；
D.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，所以，
所以，与不构成一个基底，排除D.
故选：A
3．（2023湖南长沙）给出下列命题:
①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；
②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；
③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；
④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.
③中由共面且过相同点，故共面.
下面证明①④正确.
①假设与共面，则存在实数，使，
∵与共线，，∴存在实数，使，
∵，∴，从而，∴与共面，与条件矛盾.
∴与不共面.同理可证④也是正确的.故选：D.
考点二 空间向量基底表示向量
【例2-1】（2023·北京）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：A.
【例2-2】（2023春·江苏常州）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【解析】矩形中，,所以.
因为，所以.
因为,，所以.
所以.
所以，所以.故选：A
【一隅三反】
2．（2023春·江苏常州）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A
2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为P是的中点，
所以，
又因为点Q在上，且，
所以
，
所以，
故选：C.
3．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以所以.
故答案为:.
4．（2023·福建福州）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中点为，
三个式子相加可得,
又
,
故选：D
考点三 空间向量基底的应用
【例3-1】（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【例3-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】证明见解析
【解析】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
（2）由题意知，，，，
则，
，
所以
3．（2023广西）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
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