高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品达标测试

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考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2023·黑龙江）点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】椭圆，即，其中
由椭圆定义可知：得，故选：A.
【例1-2】（2023秋·北京）椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 .
【答案】3
【解析】设椭圆的右焦点，连接，则由，知.
又点为的中点，点为的中点，所以.
故答案为：3
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ．
【答案】8
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得.
故答案为：8
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为 ．
【答案】/
【解析】据题意，设，
则，得，解得，
所以，即．
故答案为：
3.（2023湖南）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
【答案】 ②
【解析】 ①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
考点二 焦点三角形的面积与周长
【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨市）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
【例2-2】（2022秋·江苏南京）已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【答案】D
【解析】由题意可知的周长为20，
故选:D.
【例2-3】（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，故.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，，
即.
设，所以由椭圆的定义可得：①.
因为，所以由数量积的公式可得：
，所以.
在中，
所以由余弦定理可得：②，
由①②可得：，所以.
故选：A.
3．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且满足，则的面积等于 ，的周长等于 ．
【答案】
【解析】由知，，所以，即，所以，
又由椭圆的定义，知，所以，
所以在中，边上的高为，
于是，故答案为：；.
考点三 椭圆上的点到定点距离的最值
【例3-1】（2023·北京）（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（ ）
A．最大值为B．最大值为
C．最小值为D．最小值为
【答案】BD
【解析】
注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为，
则，
而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为．
故选：BD.
【例3-2】（2022秋·吉林·高二吉林省实验校考期末）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11B．8，12C．6，10D．6，11
【答案】C
【解析】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，
由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，
由椭圆定义可知：，
所以的最大值为，的最小值为.
故选：C
【例3-3】（2023·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【解析】设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．故选：B．
【一隅三反】
1．（2023春·广东汕头·高二统考期末）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【解析】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，
则，
如图：

当点P在位置M时，取到最大值，
当点P在位置N时，取到最小值，
所以的取值范围是，即，
所以的最大值，最小值，
所以.
故选：C.
2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】A
【解析】
设椭圆的半焦距为，则，，
如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，
故的最大值为.
故选：A.
3．（2023·广东）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故选：C.
4（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（ ）
A．B．C．8D．63
【答案】B
【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，
又因为，所以，PM为圆的切线，
，所以当PF最长时，切线长PM最大．
当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．
此时的最大值为．
故选：B．
5．（2023湖北）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．2
【答案】C
【解析】椭圆的左右焦点.
设，则，，
∴，
又，则.
∴
∵点P在椭圆上，∴，∴当时，取最小值2．故选：C．
考点四 椭圆的标准方程
【例4-1】（2023·广西钦州）“”是方程“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则有
因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B
【例4-2】（2023·全国·高三对口高考）若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由曲线，得，
因为曲线是焦点在x轴的椭圆，所以，解得，
即的取值范围为.故答案为：.
【例4-3】（2023·高二课时练习）写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标为，，且椭圆经过点 ；
（2）椭圆经过，两点 ；
（3）焦距等于，且椭圆经过点 ．
【答案】（1） （2） （3） 或
【解析】（1）椭圆焦点在轴上，可设其方程为：；
椭圆过点，，又，，
椭圆标准方程为：；
（2），椭圆长轴为轴，可设其方程为，
则，，椭圆标准方程为：；
（3）椭圆焦距为，，
设椭圆方程为：或，
椭圆过点，，解得：，
椭圆标准方程为：或.
【一隅三反】
1．（2022秋·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】C
【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】方程表示椭圆，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
3．（2023吉林长春）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为，，经过点；
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.
(3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点.
（4）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)(2)(3)（4）（4）或.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得，
将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的标准方程为，依题可得，即，
所以，所以椭圆的标准方程为
（3）易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：，将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：.
（4）因为，，解得：，
又因为，所以，椭圆的标准方程为或.
考点五 与椭圆的相关轨迹
【例5-1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
【例5-2】（2023春·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】
【解析】设．
因为为线段的中点，所以，
因为，所以点的轨迹方程为．
2．（2023秋·高二课时练习）（1）点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
（2）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1）轨迹是椭圆；（2）．
【解析】（1）方程化成标准形式为，圆心为，半径．
因为动圆与已知圆相内切且过点，
所以，
根据椭圆的定义，动点到两定点的距离之和为定值，所以动点的轨迹是椭圆．
（2）设，
由中点坐标公式得所以
又点在椭圆上，
所以，
即．
3．（2023秋·高二课时练习）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】
【解析】圆，圆
因为圆M与圆外切，所以，
因为圆M与圆内切，所以，，
两式相加得，
所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为.
4．（2023·全国·高三专题练习）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 求点的轨迹方程；
【答案】
【解析】设点在圆上，故有，设，又，可得，，
即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：.