高中数学3.1 椭圆精品同步达标检测题

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考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】（2023北京）（多选）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．故选：ABC.
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【解析】点与点关于原点对称，
点与关于轴对称，
点与关于轴对称，
若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，
故选：C
2．（2023秋·广东广州）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】BC
【解析】由题意知，解得．故选：BC
3．（2023·湖南）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,
故选：B
考点二 离心率
【例2-1】（2023云南）方程表示的曲线是（ ）
A．焦点为点与，离心率为的椭圆
B．焦点为点与，离心率为的椭圆
C．焦点为点与，离心率为的椭圆
D．焦点为点与，离心率为的椭圆
【答案】A
【解析】方程表示的曲线为焦点在轴上，中心为原点的椭圆，
设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，所以其焦点坐标为与，离心率为
故选：A.
【例2-2】（2023春·广西河池·高二统考期末）已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形，
则椭圆的离心率为.
故选：A.

【例2-3】（2022秋·高二课时练习）椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，]
C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点在轴上，∴，解得：，
又，
∴它的离心率的取值范围为，故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·浙江）已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的中点为，由题意得：，，
由椭圆定义得：，所以，
故选：B．
2．（2023春·云南昆明·高二统考期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴，
，，所以，
由椭圆定义可得，
故选：A

3．（2022秋·高二课时练习）已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，又因为b>0，所以0易知直线y=kx-1过定点且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上，
即，解之得，所以b≥1，综上1≤b<2，故故选：D.
考点三 直线与椭圆的位置关系
【例3-1】（2023秋·湖北）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，消去并整理得，
因为直线与椭圆只有一个交点，
所以，得．故选:C.
【例3-2】（2023秋·高二单元测试）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，
则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，
又表示焦点在轴上的椭圆，故，，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将直线与椭圆联立，得，由题意可知.故选：B
2．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
【答案】A
【解析】方法1：
∵，即：，∴直线l恒过定点，
又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.
方法2：
∴恒成立，
∴直线l与椭圆相交.故选：A.
3．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分；
一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；
当时，曲线，即，椭圆的左半部分；
画出曲线和直线的图像，如图所示：

根据图像知有个公共点.
故选：B
考点四 弦长及其应用
【例4-1】（2023秋·山东）过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ．
【答案】/
【解析】设点、，
在椭圆中，，，，
所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，.
故答案为：.
【例4-2】（2023·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1B．±
C．D．±
【答案】A
【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
设，则，．
由题意，得，解得．故选:A
【例4-3】（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点.
(1)求线段 AB的中点坐标；
(2)求△OAB的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴椭圆的标准方程是：，
设，，线段的中点为，
联立方程组，消去得，.
，由韦达定理可得，，
，，
即线段中点坐标为.
（2）点O到直线的距离，
由韦达定理知，
所以.
【一隅三反】
1（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆中，，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题知，，即，
又，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，，
联立直线与椭圆方程得，
整理得，
则，，.
所民认
.
2．（2023·河南南阳）已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，△AOB（O为坐标原点）的面积为．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若．求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）右焦点为，
当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意.
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得：，
由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，设，
则，
所以
，，
所以直线的方程为.
3．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，
如图

则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
4．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知椭圆的短轴长为，右顶点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，直线过交椭圆于，两点，问：面积是否有最大值，若没有，说明理由；若有，求出最大值.
【答案】(1)
(2)有，
【解析】（1）由题意可知，得；又因为右顶点为，所以；
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆必定有两个交点，
设点，，
联立得，
由韦达定理可得，，
如图所示，

，
令，则（），
设，则，当时，恒成立，
即在上单调递减，故，
所以的面积的最大值为.
考点五 中点弦及其应用
【例5-1】（2023春·云南曲靖）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，
两式相减得，
又，，，
代入解得．
故选：D．
【例5-2】（2023·江苏南京·高二校考阶段练习）椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设满足题意的直线与椭圆交于两点，
则，，
两式相减得，即.
又直线过，由此可得所求的直线方程为，
所以弦所在直线的方程为，
故选：B.
【例5-3】（2022·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，
则，，直线的斜率.
由，得，
，，
故椭圆的离心率.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则满足，
两式作差得，即，
又被点平分，故，且直线的斜率存在，
所以，整理得，即，
则所在直线方程为，
化简得.
故选：A.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.
故选：A
3．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
由已知有，，
作差得，
则，
所以，解得，
则的方程为.
故选：D．
考点六 椭圆的实际应用
【例6-1】（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，
当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.
把代入椭圆方程可得：，
所以当水位上升时，水面的宽度为，
故选：.
【例6-2】（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
【一隅三反】
1．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设知，解得所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．故选：C.
2．（2023·高二课时练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【答案】A
【解析】设椭圆的方程为，
因为此椭圆的离心率为，且，
所以，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】如图,由双曲线定义得:①,
由椭圆定义得: ②,
②①得:;
椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:
对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点,
路程为;
由于两次光速相同,路程比等于时间比,,..故选:B.