高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念精品习题

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1．（2023春·辽宁大连 ）在数列中，，，则数列是（ ）
A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列
C．公差为的等差数列D．不是等差数列
【答案】B
【解析】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确.
故选：B.
2．（2023春·黑龙江佳木斯·高二校考期中）等差数列中，，求（ ）
A．45B．15C．18D．36
【答案】D
【解析】因为是等差数列，所以，解得，
所以，
故选：D
3．（2023北京）已知是各项均为正数的等差数列，其公差为，若，，也是等差数列，则其公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，是等差数列，
所以，
所以，即，又，可得，
所以公差.
故选：D.
4．（2023·四川绵阳 ）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得，
所以，
故选：B
5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（ ）
A．95B．96C．97D．98
【答案】C
【解析】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设等差数列公差为,则,从而,
此时,故,
所以,
即,当且仅当,即时取“=”,
又,解得,
所以,所以,
故选:B.
7．（2023·安徽宣城）在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】由题意，，所以，
当时，即，即时，有最小值．
所以，得，即，故选D．
点睛：本题考查等差数列、基本不等式的应用．根据等差数列的性质，得，利用基本不等式中的条件型问题，得，则时，即，即时，有最小值，解得，．
8．（2023秋·辽宁 ）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】D
【解析】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，
故，，
被5除余3的数为3，8，13……，故，，
被7除余1的数为1，8，15……，故，，
由，，，
故，，
令，解得：，
因为，所以，故此数列的项数为20.
故选：D
多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2023春·高二课时练习）下列数列中是等差数列的是（ ）
A．，a，
B．2，4，6，8，…，，
C．，，，
D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由于，故是等差数列，正确；
对于B选项，2，4，6，8，…，，中，，是等差数列，正确；
对于C选项，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；
对于D选项，由得，满足等差数列定义.
故选：ABD.
10．（2022·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】根据等差数列的性质，得，
因为，所以，
所以，
故选：CD.
11．（2023山东）已知在等差数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意，
设等差数列的公差为d，
则
即，所以
故选：BC.
12．（2023福建）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A．B．
C．D．中的第506项是中的第2022项
【答案】AC
【解析】因为，，所以，故C正确；
数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误；
对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误．
故选：AC
填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2023春·高二单元测试）已知,,依次是等差数列的第2项、第4项和第6项,则实数的值是 ．
【答案】2
【解析】因为等差数列的第2项、第4项和第6项仍然成等差数列
所以,解得
故答案为：2
14．（2023·全国·高二专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】根据题意可得，则，
当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
15．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）设是公差为正数的等差数列，若，，则 ．
【答案】39
【解析】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为，
，，
则，则，
故，故，
故，
故答案为：39
16．（2023春·浙江宁波 ）已知等差数列，，，则 .
【答案】1
【解析】记等差数列的公差为，则，
因为，，
所以
，
所以.
故答案为：1
解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17.（2023河北）在等差数列中，
(1)已知，，求和公差d；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
(5)已知，，，求；
(6)已知，，，求；
(7)已知，，，求d；
(8)已知，，，求．
【答案】(1)，；(2)(3)28 (4)17.(5)13(6)8(7)(8)
【解析】（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，上两式联立：，，；
故答案为：，，-12，28，17.
（5）解：因为数列为等差数列，，，，
所以，所以；
（6）解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
（7）解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
（8）解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得.
18．（2022·高二课时练习）数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由，
得，
，且，
故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知数列的首项为，公差，则数列，
即，
则.
19．（2023秋·高二课时练习）数列满足，，设.
(1)数列是等差数列吗？试证明；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)是，证明见解析；
(2).
【解析】（1）解：数列是等差数列.
证明如下：由已知可得，，则，
所以.
所以数列是等差数列.
（2）解：由（1）知，数列是等差数列，首项，公差.
所以，
所以，，所以.
20．（2023陕西）已知等差数列为3，7，11，15，….
(1)求的通项公式；
(2)135，是数列中的项吗？为什么？
(3)若，是中的项，那么，是数列中的项吗？请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)是，理由见解析
【解析】1）设数列的公差为d，依题意有，
，∴.
（2）令，得，∴ 135是数列的第34项；
∵，且，∴是数列的第项.
（3）∵，是数列中的项，∴，，
∴，
∵，∴ 是数列的第项.
21．（2023山东）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值，最大值3，理由见解析
【解析】（1）证明：因为，，
所以当时，
.
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，则.
设函数，在区间和上单调递减，
结合函数的图象可知，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值3.
22．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是数列的第8项．
【解析】（1）设数列的公差为．
由题意可知，，，于是．
因为，所以，所以．
所以．
所以数列的通项公式是．
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．
令，解得．
所以是数列的第8项．