人教版高中数学选择性必修二 精讲精练第四章 数列 章末测试（基础）（2份，原卷版+解析版）

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第四章 数列全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）164是数列12，14，18，116，……的（    ）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【解题思路】利用观察法分析数列的规律即可.【解答过程】观察条件式可知原数列为：12,122,123,124,……，而164=126，即为第6项，故选：A.2．（5分）（2023春·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明1+12+23+3⋯n+n=2n−1n2+nn∈N∗，从n=k到n=k+1，左边需要增加的因式是（    ）A．2k+1 B．2k+1 C．kk+1 D．k+1k+1【解题思路】将n=k+1时左边的等式除以n=k时左边的等式即可得解.【解答过程】解：当n=k时，左边=1+12+23+3⋯k+k，当n=k+1时，左边=1+12+23+3⋯k+kk+1+k+1，所以左边应添加因式为2k+1，故选：B.3．（5分）（2023秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（    ）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，−1，−2与−2，−1，0，1是相同的数列C．数列n+1n的第k项为1+1kD．数列0，2，4，6，…可记为2n【解题思路】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，n=k代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示.【解答过程】对A，数列可为常数数列，A错误；对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；对C，当n=k时，ak=k+1k=1+1k，C正确；对D，数列中的第一项不能用an=2n表示，D错误.故选：C.4．（5分）（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知等比数列an的各项均为正数，若a2=1，a8=2a6+3a4，则a9=（    ）A．183 B．363 C．27 D．273【解题思路】等比数列，基本量的计算，设出公比q，联立式子可求出q，a9=a2q7即可.【解答过程】设an的公比为q，则a8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2．因为a8=2a6+3a4，所以q6=2q4+3q2，因为q≠0，所以q4−2q2−3=q2+1q2−3=0，所以q2=3．因为an的各项均为正数，所以q=3．因为a2=1，所以a9=a2q7=273．故选：D.5．（5分）（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（    ）A．1011升 B．6566升 C．6766升 D．3733升【解题思路】设此等差数列为{an}，公差为d，由题意列方程求出a1,d，进而得解.【解答过程】设此等差数列为{an}，公差为d，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,则4a1+6d=3,3a1+21d=4，联立解得a1=1322,d=766.∴a5=1322+4×766=6766.故选：C．6．（5分）（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S4S8=14，则S16S4+S8=（    ）A．8 B．9 C．16 D．17【解题思路】利用等比数列前n项和的性质计算即可.【解答过程】设S4=xx≠0，则S8=4x，因为an为等比数列，所以S4,S8−S4,S12−S8,S16−S12仍成等比数列.易知S8−S4S4=4x−xx=3，所以S12−S8=3S8−S4=9xS16−S12=3S12−S8=27x⇒S12=13xS16=40x,故S16S4+S8=40xx+4x=8.故选:A.7．（5分）（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列an中，an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1n∈N+，bn=1anan+1，则数列bn的前n项和S10=（    ）A．1011 B．2011 C．3011 D．4011【解题思路】由等差数列求和公式可整理得到an，进而确定bn，采用裂项相消法可求得结果.【解答过程】∵an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1=1+2+⋅⋅⋅+nn+1=nn+12n+1=n2，∴bn=1nn+14=4nn+1=41n−1n+1，∴S10=4×1−12+12−13+⋅⋅⋅+110−111=4×1−111=4011.故选：D.8．（5分）（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列an满足a1+12a2+122a3+⋯+12n−1an=n，n∈N*，记数列2an−n的前n项和为Sn，则Sn=（    ）A．2n−n22−n2−1 B．2n+1−n22−n2−2C．2n−n22−n2 D．2n−n22−n2−3【解题思路】利用an,Sn求an通项公式，进而可得2an−n=2n−n，再应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求Sn.【解答过程】由题设a1=1且a1+12a2+122a3+⋯+12n−2an−1=n−1(n ≥ 2)，故12n−1an=1且n≥2，所以an=2n−1，又a1=1也满足，故an=2n−1，则2an−n=2n−n，所以Sn=(2+22+...+2n)−(1+2+...+n)=2×(1−2n)1−2−n(n+1)2=2n+1−n22−n2−2.故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考期末）已知数列an满足an+1=11−an，若a1=12，则下列是数列an的项的是（    ）A．−1 B．12 C．1 D．2【解题思路】计算数列an的前四项的值，分析可知，对任意的n∈N∗，an+3=an，即可得出合适的选项.【解答过程】因为数列an满足an+1=11−an，且a1=12，则a2=11−a1=11−12=2，a3=11−a2=11−2=−1，a4=11−a3=11−−1=12，⋯，以此类推可知，对任意的n∈N∗，an+3=an，故选：ABD.10．（5分）（2023·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N∗时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5时命题不成立，则下列说法正确的是（    ）A．当n=4时，命题不成立B．当n=1时，命题可能成立C．当n=6时，命题不成立D．当n=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立【解题思路】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【解答过程】如果当n=4时命题成立，则当n=5时命题也成立，与题设矛盾，即当n=4时，命题不成立，A正确；如果当n=1时命题成立，则当n=2时命题成立，继续推导可得当n=5时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，如果当n=6时命题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD.11．（5分）（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a3=12,S12>0,S130>a7判定选项D正确.【解答过程】对于选项A、C：因为S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)>0，S13=13(a1+a13)2=13a7012+4d0，故左边>右边，原不等式成立；假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx，则当n=k+1时，∵x>0，∴1+x>0，在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k·(1+x)>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x，所以(1+x)k+1>1+(k+1)x．即当n=k+1时，不等式也成立．综上，对一切正整数n，不等式都成立．20．（12分）（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1，且当n≥2时，2Sn=n+1an−2.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bn=2n+1an，求bn的前n项和Tn.【解题思路】（1）根据an与Sn之间的关系，分n=2和n≥3两种情况运算求解；（2）由（1）可得bn=1,n=11n−1n+1,n≥2，利用裂项相消法运算求解.【解答过程】（1）因为当n≥2时，2Sn=n+1an−2，且a1=1，若n=2，则2S2=21+a2=3a2−2，解得a2=4，若n≥3，则2Sn−1=nan−1−2，两式相减可得：2an=n+1an−nan−1，整理得ann=an−1n−1，即ann=an−1n−1=⋅⋅⋅=a22=2，可得an=2n；可知n=1不符合上式，n=2符合上式，所以an=1,n=12n,n≥2.（2）由（1）可得：bn=2n+1an=1,n=11nn+1=1n−1n+1,n≥2，当n=1时，则Tn=b1=1；当n≥2时，则Tn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn=1+12−13+13−14+⋅⋅⋅+1n−1n+1=32−1n+1；可知n=1符合上式，所以Tn=32−1n+1.21．（12分）（2023秋·江苏淮安·高三联考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn−n3an−4=12.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=1an，求证：数列bn的前n项和Tn