高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式一课一练

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式一课一练，共19页。试卷主要包含了“|x|<3”是“x2
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关练
题组一二次函数的零点及其应用
1.(2024江苏大厂高级中学期中)设x1,x2是函数y=6x2-x-2的两个零点,则1x1+1x2的值为( )
A.2 B.-2 C.12 D.-12
2.(多选题)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,下列说法正确的是( )
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
3.(教材习题改编)函数y=(x-1)(x2-3)的零点是 .
4.(2024江苏杨集高级中学阶段检测)若函数y=x2+mx+4m2-3的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值为 .
题组二一元二次不等式的解法
5.(2024江苏镇江中学期中)“|x|<3”是“x2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2024江苏徐州高级中学期中)不等式x(x+2)A.-12,1
B.-∞,-12∪(1,+∞)
C.-1,12
D.(-∞,-1)∪12,+∞
7.(2024陕西汉中期中)若0A.x|1m1m或xC.x|x<1m或x>m D.x|m8.(2024江苏海头高级中学阶段检测)不等式ax2-(a+2)x+2>0(a<0)的解集为( )
A.2a,1 B.2a,1
C.-∞,2a∪[1,+∞) D.-∞,2a∪(1,+∞)
9.(教材习题改编)求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0;
(5)-1题组三三个“二次”之间的关系
10.(教材习题改编)若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|x≠m},则m+k=( )
A.-1 B.0 C.-2 D.2
11.(2024江苏镇江统考)甲、乙两人分别解关于x的不等式x2+mx+n<0.甲抄错了常数m,得到解集为(1,6);乙抄错了常数n,得到解集为(1,4).如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的,则原不等式的解集为( )
A.(2,3) B.(1,6)
C.(-2,3) D.(-3,-2)
12.(2024江苏南京师大附中期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于(-1,0),(2,0)两点,则关于x的不等式cx2+x-b>0的解集为( )
A.-12,1
B.-∞,-12∪(1,+∞)
C.-1,12
D.(-∞,-1)∪12,+∞
题组四一元二次不等式的恒(能)成立问题
13.(教材习题改编)若关于x的不等式x+2x+a2-a-2≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.1-132≤a≤1+132
B.-1≤a≤2
C.a≤1-132或a≥1+132
D.a≤-1或a≥2
14.(多选题)(2023吉林省实验中学期中)∀x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.0-1
C.015.(2023江苏南通中学期中)已知命题p:对任意实数x,不等式mx2-2x+12>0都成立,命题q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若命题p,q有且只有一个是真命题,则实数m的取值范围为 .
题组五一元二次不等式的实际应用问题
16.某商店销售一种亚运会纪念章,每枚纪念章的最低售价为15元,若每枚纪念章按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚纪念章售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
17.(2024北京育才学校阶段检测)某市有一块三角形荒地,如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=200米,现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于7 500平方米,则AD的长度(单位:米)的取值范围是( )
A.[40,160] B.[50,150]
C.[55,145] D.[60,140]
18.(2024上海奉贤期中)某服装公司生产的衬衫每件定价160元,在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫,以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%(每100元销售额收取r元),且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫价格提高到1601-r%元,但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元,则正整数r的取值集合为 .
能力提升练
题组一含参数的一元二次不等式的解法
1.(2024江苏南京联考)若关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},则关于x的不等式ax+bx-2>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-12.(2024江苏盐城期中)若关于x的不等式(ax-1)2A.-32B.-32C.-32≤a<-43或43D.-32≤a<-43或43≤a<32
题组二三个“二次”之间的关系
3.(2024江苏响水中学阶段检测)对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出一种解法:由ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-4,2),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-4,2),类比上述解法,若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞),则关于x的不等式a8x3+b4x2+c2x+d>0的解集为( )
A.(2,8)∪(16,+∞)
B.0,116∪18,12
C.(1,2)∪(4,+∞)
D.0,18∪14,1
4.(多选题)(2024湖南益阳第一中学期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为1t,t(t>0),则下列说法正确的是( )
A.abc<0
B.2a+b<0
C.14a+12b+c(4a+2b+c)≤0
D.设关于x的方程ax+bx+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2>t+1t
5.(2023陕西西北工业大学附属中学月考)若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等实数根都是负数,则实数k的取值范围为 .
题组三一元二次不等式中的恒(能)成立问题
6.(2024江苏苏州第五中学期中)若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A.-2C.m<-2或m>2 D.m<-2
7.(2024江苏徐州统考)若不等式x2-8x+202kx2+kx-38<0对一切x∈R恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.(-3,0)
B.(-∞,-3)∪(0,+∞)
C.(-3,0]
D.(-∞,-3)∪[0,+∞)
8.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学调研)当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+6a的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关练
1.D 根据题意,得x1,x2是方程6x2-x-2=0的两个不相等的实数根,
所以x1+x2=16,x1x2=-13,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=-12.
故选D.
易错警示二次函数的零点是实数,而不是点,并且不是所有的二次函数都有零点.
2.AB 当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=54,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,故A正确;
当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,故B正确;
当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,故C错误;
当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,故D错误.故选AB.
3.答案 1和±3
解析令(x-1)(x2-3)=0,解得x=1或x=±3,
所以函数y=(x-1)(x2-3)的零点是1和±3.
4.答案 34
解析根据题意,得方程x2+mx+4m2-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,
则Δ=m2-4(4m2-3)>0,
所以-255又x1+x2=-m,x1x2=4m2-3,x1+x2=x1x2,
所以-m=4m2-3,即4m2+m-3=0,
解得m=-1或m=34,
又-2555.B 解析由|x|<3,解得-3由x2因为{x|0所以“|x|<3”是“x2故选B.
6.A 将x(x+2)所以不等式x(x+2)故选A.
7.D 因为0m,
所以(x-m)x-1m<0的解集为x|m故选D.
8.B 原不等式可转化为-ax2+(a+2)x-2<0,
即-a(x-1)x-2a<0,
因为a<0,所以2a<1,
所以2a故选B.
9.解析 (1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得12(2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,设方程3x2-6x+2=0的两根分别为x1,x2,则x1=1+33,x2=1-33,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为xx≤1-33或 x≥1+33.
(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为x|x∈R,且x≠-12.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,所以原不等式的解集为⌀.
(5)原不等式等价于x2+2x-1>-1,x2+2x-1≤2,
即x2+2x>0,①x2+2x-3≤0,②
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或010.C 由题意可得函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个公共点破题关键,∴Δ=4-4k2=0,k<0,解得k=-1,∴不等式为-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集为{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2.故选C.
11.A 依题意,由甲求得的解集得n=1×6=6,由乙求得的解集得-m=1+4=5,解得m=-5,
于是不等式x2+mx+n<0即x2-5x+6<0,解得212.A 由题意,设x2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1=-1,x2=2,
所以由根与系数的关系,得-1+2=-b,(-1)×2=c,
解得b=-1,c=-2,
此时cx2+x-b=-2x2+x+1=(2x+1)(-x+1)>0,解得-1213.D 因为关于x的不等式x+2x+a2-a-2≥0恒成立,所以a2-a-2≥-x-2x,则a2-a-2≥(-x-2x)max,
令x=t,t≥0,则-x-2x=-t2-2t=-(t+1)2+1,
当t=0时,-x-2x取得最大值,且最大值为0,
所以a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2.故选D.
14.BD ∵∀x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M⫋N,对比选项可知,选项B,D均符合题意.
15.答案 (1,2]∪[3,+∞)
解析命题p为真命题时,需满足4-2m<0,m>0,解得m>2.
命题q为真命题时,需满足Δ=16(m-2)2-16<0,解得1∵命题p、q中有且只有一个是真命题,
∴当p真q假时,m>2且m∈(-∞,1]∪[3,+∞),即实数m的取值范围是m≥3;
当p假q真时,m≤2且1综上,实数m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).
16.B 由题意,得x[45-3(x-15)]>600,
即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,
解得10又∵每枚纪念章的最低售价为15元,∴15≤x<20.
故选B.
17.B 在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,
设AD=x米,则EF=FC=AD=x米,FA=(200-x)米,
依题意,得x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150.
故AD的长度(单位:米)的取值范围是[50,150].
故选B.
18.答案 {7,8,9,10}
解析由题意,得(10-0.62r)·1601-r%·r%≥65且1601-r%>160,10-0.62r>0,r∈N*,
所以496r2-8 325r+32 500≤0且0令496r2-8 325r+32 500=0,则Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625,
所以方程的两根分别为r1=8 325-Δ992≈6.177 7,r2=8 325+Δ992≈10.606 6,
综上,可得7≤r≤10,r∈N*,
所以正整数r的取值集合为{7,8,9,10}.
能力提升练
1.D 因为关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},所以关于x的方程ax+b=0的解为x=-1,且a<0,所以-a+b=0,即b=a,
故不等式ax+bx-2>0即ax+ax-2>0,等价于x+1x-2<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1因此不等式ax+bx-2>0的解集为{x|-12.B ∵不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
(结合二次函数图象,当不等式小于0,且恰有2个整数解时,二次项系数大于0)
当a>1时,不等式的解集为1a+1,1a-1,易知1a+1∈0,12,∴2个整数解分别为1,2,∴2<1a-1≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得43≤a<32;
当a<-1时,不等式的解集为1a+1,1a-1,易知1a-1∈-12,0,∴2个整数解分别为-1,-2,∴-3≤1a+1<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-32综上,实数a的取值范围是-323.B 若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞),
即解不等式ax3+bx2+cx+d>0可得18,
由a8x3+b4x2+c2x+d>0得a·12x3+b·12x2+c·12x+d>0,
所以1<12x<4或12x>8,所以14<2x<1或0<2x<18,解得18所以关于x的不等式a8x3+b4x2+c2x+d>0的解集为0,116∪18,12.故选B.
4.ABD 因为不等式ax2+bx+c<0的解集为1t,t(t>0),所以1t和t为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0,t>1,则1t+t=-ba,1t·t=ca,所以b=-a1t+t,a=c>0,
又1t+t>21t·t=2,所以b<-2a<0,
所以abc<0,2a+b<0,故A、B正确;
而14a+12b+c(4a+2b+c)=14a-12a1t+t+a·4a-2a1t+t+a=14a25-21t+t2≥0,故C错误;
因为关于x的方程ax+bx+c=0的解分别为x1,x2,
令x=m(m≥0),即x=m2,
所以关于m的方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上有两个解m1,m2,
结合题意,可得方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上的两个解为1t和t,所以1t+t=m1+m2,1t×t=m1m2,
所以x1+x2=m12+m22=(m1+m2)2-2m1m2=1t+t2-2×1t×t=1t+t2-2,
又1t+t2-2-1t+t=1t+t-122-94,且1t+t>2,
所以1t+t-122-94>0,即1t+t2-2>1t+t,
所以x1+x2>t+1t,故D正确.
故选ABD.
5.答案 k|k<-125或k>3
解析设方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,
则x1<0,x2<0⇔x1+x2<0,x1x2>0,
所以Δ=9k2-4k(k-3)>0,-3kk<0,k-3k>0,即k(5k+12)>0,-3<0,3k<1,
又k≠0,所以k<-125或k>3.
6.B 因为不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,
所以不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数x均成立,
当m-2=0,即m=2时,有-3<0恒成立,满足题意;
当m-2≠0,即m≠2时,
m-2<0,Δ=(m-2)2+12(m-2)<0,解得-10综上所述,实数m的取值范围为-10故选B.
7.C 因为Δ=(-8)2-4×20=-16<0,
所以x2-8x+20>0恒成立,
不等式x2-8x+202kx2+kx-38<0对一切x∈R恒成立等价于2kx2+kx-38<0对一切x∈R恒成立破题关键.
当k=0时,-38<0对一切x∈R恒成立,满足题意,
当k≠0时,k<0,Δ=k2-4×2k×-38<0,解得-3综上,k∈(-3,0].故选C.
8.答案 45
解析易知a≠0.
当a<0时,由x>0可得ax-1<0,所以(ax-1)(x2+bx-4)≥0,即x2+bx-4≤0,易知函数y=x2+bx-4的图象开口向上,所以x2+bx-4≤0不恒成立,不满足题意;
当a>0时,若x>1a,则ax-1>0,若01a时,x2+bx-4≥0,当0