苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.3 函数的单调性第2课时同步训练题

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题组一 函数的单调性与最值
1.(教材习题改编)若函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象如图所示,则该函数的最大值、最小值分别为 ( )
A.f 32,f -32 B.f(0),f 32
C.f(0),f -32 D.f(0),f(2)
2.(2023山东省实验中学月考)设函数f(x)=2xx-2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=( )
A.4 B.6 C.10 D.24
3.(2023天津第二南开中学期中)函数f(x)=11-x(1-x)的最大值为 .
4.(2024江苏滨海中学期中)函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域;
(2)求f(x)的最小值g(a).
题组二 函数最值的应用
5.(2024江苏曲塘中学阶段检测)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=( )
A.-1 B.1 C.-2 D.-12
6.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大总利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 万元
7.(2024江苏连云港期中)当x∈(1,2)时,不等式x2+4x+m<0恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≤-5 B.m≤-12 C.m<-8 D.m<-5
8.(2024江苏仪征中学期中)已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为154,则a等于( )
A.32 B.12 C.-12 D.12或-32
9.(2023江苏南京雨花台中学期中)已知函数f(x)=|x2-2x-3|在[-1,m]上的最大值为f(m),则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1]
B.(-1,1+22]
C.[1+22,+∞)
D.(-1,1]∪[1+22,+∞)
10.(2024福建福州期中)设f(x)=(x-a)2,x≤0,1+1x,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是 .
能力提升练
题组一 求函数的最值
1.(2024山东德州期中)函数f(x)=x+4-x-25x(4-x)的最大值为( )
A.4 B.2 C.4120 D.2110
2.(2024江苏徐州期中)已知f(x)=ax+b(a>0),满足f(f(x))=x+2,则函数y=x-f(x)的值域为( )
A.[1,+∞) B.[-1,+∞)
C.-54,+∞ D.[0,+∞)
3.(2023江苏南京一中期中,)已知二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1],t∈R上的最小值g(t),并写出g(t)的函数表达式.
题组二 函数最值的应用
4.(2023湖南长沙长郡中学期中)已知函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},若M(x)的最小值为-12,则实数a的值为( )
A.0 B.±1 C.±2 D.±2
5.(2024江苏镇江期末)已知函数f(x)=-x2+2x+3,x<2,mx,x≥2,若函数f(x)的值域是(-∞,4],则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,6] B.(0,8]
C.[0,6] D.(-∞,8]
6.(2024浙江杭州期中)已知f(x)=x-1x,对任意的x∈[1,+∞),均有f(mx)+mf(x)<0成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<-1 B.0C.-17.(2024山东菏泽期末)已知函数f(x)=|ax2+x+1|,x∈[1,2],且f(x)的最大值为a+2,则a的取值范围是( )
A.-1,-12 B.-1,-13
C.-2,-13 D.-1,-12
8.(2024江苏高淳高级中学期中)已知函数f(x)=x2+3x,g(x)=x2+17x2+1,若∃x1∈[a-1,a+2],∀x2∈[0,3],使得f(x1)≤g(x2),则a的取值范围是 .
9.(2024江苏宿迁期中)已知函数f(x)=x-ax的定义域为D,∀x∈D, f(x)+f 1x=0.
(1)求a的值,并证明f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若不等式mf(x2)-(3m+1)f(x)+2>2m·1-1x2对任意的x∈12,2恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第2课时 函数的最值
基础过关练
1.C 由题图可得,函数的最大值对应图象最高点的纵坐标f(0),最小值对应图象最低点的纵坐标f -32.故选C.
2.C 因为f(x)=2(x-2)+4x-2=2+4x-2,
所以f(x)在[3,4]上单调递减.
因此m=f(4)=4,M=f(3)=6.
所以M+m=6+4=10.故选C.
3.答案 43
解析 f(x)=11-x(1-x)=1x2-x+1,
∵y=x2-x+1=x-122+34在-∞,12上单调递减,在12,+∞上单调递增,且当x=12时,ymin=34,
∴x2-x+1≥34,又y=1x在34,+∞上单调递减,且y>0,∴0<1x2-x+1≤43,因此f(x)的最大值为43.
4.
思路点拨 (1)求出函数图象的对称轴,判断函数在所给区间上的单调性,利用单调性求函数的值域;
(2)分类讨论函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,结合函数的单调性,求得f(x)的最小值g(a)的表达式.
解析 (1)当a=2时, f(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1,
故f(x)=2x2-4x+3在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
则f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-1)=9,
故函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[1,9].
(2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴为直线x=a2,
当a2<-1,即a<-2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
故g(a)=f(-1)=5+2a;
当-1≤a2≤1,即-2≤a≤2时, f(x)在区间-1,a2上单调递减,在区间a2,1上单调递增,
故g(a)=f a2=-a22+3;
当a2>1,即a>2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
故g(a)=f(1)=5-2a.
综上所述,g(a)=5+2a,a<-2,-a22+3,-2≤a≤2,5-2a,a>2.
解题模板 求二次函数f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值时,先求得f(x)图象的对称轴,再讨论区间[a,b]与图象的对称轴的位置关系,结合函数的图象与单调性可得f(x)的最大(小)值.
5.A 因为二次函数有最大值,所以a<0,
又二次函数y=ax2+4x+a的最大值为4a2-164a=a2-4a,
所以a2-4a=3,所以a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1,
因为a<0,所以a=-1.故选A.
6.C 设该公司在甲地销售x(0≤x≤15,x∈N)辆,获得的总利润为L万元,则在乙地销售(15-x)辆.
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1922+4814,故当x的值为9或10时,L最大,最大总利润为120万元.故选C.
7.B 由题意得m<-x2-4x对任意的x∈(1,2)恒成立,
设f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4,则f(x)在(1,2)上单调递减,又f(2)=-12,所以m≤-12.故选B.
易错警示 解决含参数的不等式时,要分清参数m与未知数x,分离出参数m求出取值范围.
8.C 函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象的对称轴为直线x=-1,
若a≤-1,则当x=-1时,函数f(x)取得最大值,且最大值为4,不满足题意;
若-1所以当x=a时,函数f(x)取得最大值,且最大值为f(a)=-a2-2a+3=154,解得a=-12或a=-32(舍去).故选C.
9.D 易知f(x)的图象的对称轴为直线x=1, f(1)=4, f(-1)=f(3)=0, f(x)的图象如图所示:
令x2-2x-3=4,解得x=1±22,
由图可知,-110.答案 0≤a≤1
解析 因为f(x)=(x-a)2,x≤0,1+1x,x>0,
所以当x>0时, f(x)=1+1x>1;
当x≤0时, f(x)=(x-a)2,易得y=(x-a)2的图象开口向上,对称轴为直线x=a,
因为f(0)是f(x)的最小值, f(0)=a2,
所以a≥0,a2≤1,解得0≤a≤1,
故a的取值范围为0≤a≤1.
能力提升练
1.C 易知f(x)的定义域为[0,4],
令t=x+4-x(t>0),
所以t2=4+2x(4-x),则x(4-x)=12t2-2,
由y=x(4-x),0≤x≤4可知,0≤y≤2,
所以4≤t2≤8,则2≤t≤22,
原函数可转化为g(t)=t-2512t2-2=-15t2+t+45=-15t-522+4120≤4120(2≤t≤22),
所以f(x)的最大值为4120.故选C.
2.C 根据题意,得f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=x+2,故a2=1,ab+b=2,
又a>0,所以a=1,b=1,故f(x)=x+1,
y=x-f(x)=x-x+1,其定义域为[-1,+∞),
设x+1=t,t≥0,
则x=t2-1,y=t2-1-t=t-122-54,
当t=12,即x=-34时,函数y=x-f(x)有最小值,为-54,
故函数y=x-f(x)的值域为-54,+∞.故选C.
3.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,∴c=2,
又f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x-1,∴2a=2,a+b=-1,
解得a=1,b=-2,∴f(x)=x2-2x+2.
(2)函数f(x)=x2-2x+2的图象的对称轴为直线x=1,则当t≥1时, f(x)在[t,t+1]上单调递增,故f(x)在x=t处取得最小值,即g(t)=t2-2t+2;当t+1≤1,即t≤0时, f(x)在[t,t+1]上单调递减,故f(x)在x=t+1处取得最小值,即g(t)=t2+1;当0综上,g(t)=t2+1(t≤0),1(04.B 当a>0时,作出y=M(x)的图象,如图所示,
由图可知,y=M(x)在点A处取得最小值-12,
故2x2-1=-12,解得x=±12,
由图象可知x=-12,将-12,-12代入g(x)=ax,得-12a=-12,解得a=1;
同理可得,当a<0时,图象最低点的横坐标x=12,
将12,-12代入g(x)=ax,得12a=-12,解得a=-1;
当a=0时,g(x)=0,此时y=M(x)的最小值为0,不符合题意,故舍去.
综上所述,a=±1,故选B.
5.D ∵y=-x2+2x+3的图象的对称轴为直线x=1,
∴y=-x2+2x+3在(-∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴当x<2时, f(x)的取值范围为(-∞,4],
若函数f(x)的值域是(-∞,4],
则当x≥2时,mx≤4,即m≤4x恒成立,
∴m≤(4x)min,∴m≤8.故选D.
6.A 当x∈[1,+∞)时,由f(mx)+mf(x)<0得mx-1mx+mx-mx<0,化简,得2mx当m>0时,x2<12+12m2,由题意得12+12m2>(x2)max,
而函数y=x2在[1,+∞)上无最大值,不符合题意;
当m<0时,x2>12+12m2,由题意得12+12m2<(x2)min,
因为函数y=x2在[1,+∞)上的最小值为1,
所以12+12m2<1,即m2>1,又m<0,所以m<-1.
综上,实数m的取值范围是m<-1.故选A.
7.A 由题意可知,a+2≥0,即a≥-2,且f(1)=a+2,则∀x∈[1,2],|ax2+x+1|≤a+2,
即-a-2≤ax2+x+1≤a+2,
即∀x∈[1,2],-x+3x2+1≤a≤-1x+1,
令h(x)=-x+3x2+1,t(x)=-1x+1,x∈[1,2],
则h(x)max≤a≤t(x)min,
∵h(x)=-x+3x2+1=-x+3(x+3)2-6(x+3)+10=-1x+3+10x+3-6,且x+3∈[4,5],
∴12≤x+3+10x+3-6≤1,∴-2≤h(x)≤-1,
即h(x)max=-1,
又t(x)=-1x+1在[1,2]上单调递增,
∴t(x)min=-12,∴-1≤a≤-12.故选A.
8.答案 [-7,3]
思路点拨 由题意可得f(x)min≤g(x)min,先确定g(x)的最小值,然后通过讨论a确定函数f(x)的单调性进而确定f(x)的最小值,即可求解.
解析 由题意,得f(x)min≤g(x)min,g(x)=x2+17x2+1=x2+1+16x2+1,
令t=x2+1,因为x∈[0,3],所以t∈[1,2],
则h(t)=t+16t,t∈[1,2],
因为h(t)=t+16t在[1,2]上单调递减,
所以g(x)在[0,3]上的最小值为10.
f(x)=x2+3x的图象的对称轴为直线x=-32,
(根据f(x)图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论)
当-32≤a-1,即a≥-12时, f(x)在区间[a-1,a+2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(a-1)=a2+a-2,所以a2+a-2≤10,解得-4≤a≤3,又a≥-12,所以-12≤a≤3;
当-32≥a+2,即a≤-72时, f(x)在区间[a-1,a+2]上单调递减,
所以f(x)的最小值为f(a+2)=a2+7a+10,
所以a2+7a+10≤10,解得-7≤a≤0,
又a≤-72,所以-7≤a≤-72;
当a-1<-32所以f(x)的最小值为f -32=-94,
因为-94<10成立,所以-72综上,a的取值范围是[-7,3].
9.解析 (1)函数f(x)=x-ax的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(x)+f 1x=0,所以令x=1,则f(1)+f(1)=0,即f(1)=0,所以1-a=0,解得a=1,
此时f(x)=x-1x, f 1x=1x-11x=-x-1x=-f(x), 故f(x)+f 1x=0成立,所以a的值为1.
证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1因为00,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)得, f(x)=x-1x,
因为mf(x2)-(3m+1)f(x)+2>2m1-1x2,
所以mx-1x2-(3m+1)x-1x+2>0,
又x∈12,2,所以f(x)∈-32,32,
分析题干,利用换元法与二次函数的性质求解,即令t=f(x)=x-1x,t∈-32,32,将不等式转化为mt2-(3m+1)t+2>0,对m进行分类讨论,由二次函数的性质求解即可
令t=f(x)=x-1x,t∈-32,32,
则mt2-(3m+1)t+2>0,t∈-32,32,
①当m=0时,-t+2≥12>0恒成立,满足题意;
②当m>0时,二次函数y=mt2-(3m+1)t+2的图象开口向上,对称轴方程为t=3m+12m=32+12m>32,
所以当t=32时,y=94m-32(3m+1)+2>0,所以0③当m<0时,二次函数y=mt2-(3m+1)t+2的图象开口向下,
所以当x=-32时,94m+32(3m+1)+2>0,
当x=32时,94m-32(3m+1)+2>0,
所以-1427综上,实数m的取值范围是-1427,29.