人教版高中数学选择性必修二 精讲精练高二数学选择性必修第二册 综合测试（提升）（2份，原卷版+解析版）

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高二数学选择性必修第二册 综合测试（提升）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（江西省先知高考2024届高三上学期第二次联考数学试题）若函数的导函数为，且满足，则（    ）A．0 B．-1 C． D．-2【答案】C【解析】由，得，令，则，解得，所以.故选：C2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（    ）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【解析】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，整理得，则，解得，所以.故选：A.3．（2023秋·福建三明 ）已知数列的前项和为，若，，则有（    ）A．为等差数列 B．为等比数列C．为等差数列 D．为等比数列【答案】D【解析】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.当时，，又由时，，适合上式，所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.故选：D.4．（2023秋·陕西商洛 ）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（    ）A．12 B．22 C．37 D．55【答案】B【解析】由题意，且是公差为的等差数列，可知的首项为，则，故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，令，即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，故的最大值为，故选：B5．（2023秋·湖南长沙 ）若为等差数列，是其前项的和，且为等比数列，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为等差数列，故，所以，又因为为等比数列，，所以，当时，；当时，；所以，故选：D.6．（广西壮族自治区桂林市等3地2024届高三上学期跨市联合适应性训练检测（10月月考）数学试题）设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，构造函数，则，当时，，所以在区间上单调递增，因此可得，即，所以，又指数函数为单调递增，可得，即．因为，所以．故选：A7．（2023秋·宁夏银川 ）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在区间恰有3极值点，2个零点，在恰有3个零点，又函数在区间恰有2零点， 由于，则，故问题转化为在上有3个零点，在上有2个零点，结合正余弦函数图象可得：，故.故选：C.  .  .8．（2023秋·山东德州 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）A．30 B． C． D．41【答案】B【解析】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，数列的第一个公共项为，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，所以数列的通项公式为，由等差数列前项公式得，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023秋·吉林长春）函数，，下列说法中，正确的是（    ）A．B．在单调递增C．D．【答案】ABD【解析】，，，，，故A正确；又，在上单调递增，故B正确，C错误；令，，，在上单调递减，即，，又，，即，故D正确.故选：ABD.10．（2023秋·河南 ）已知，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根据题意，得.因为在上为增函数，所以，A选项正确；因为在上为增函数，所以，B选项正确；对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以与的大小不确定，C选项错误；，即，设，，则，令，得.因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，的大小不确定，D选项错误，故选：AB.11．（2022秋·福建莆田·高二校考期中）已知是数列的前n项和，若，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．数列为等差数列C． D．【答案】ACD【解析】由题意，当时，可得且，解得，所以A正确；因为，当时，可得，两式相减，可得，因为，所以，所以数列的前4项为，则，所以数列不是得出数列，所以B不正确；因为，可得，所以C正确；由且，所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列，又由且，所以数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，则，，所以，所以D正确.故选：ACD.12．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（    ）A．B．C．的值是中最大的D．的值是中最大的【答案】ABD【解析】对于A，∵，，即，，又，又，，且，，故A正确；对于B，，，即，故B正确；对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知，所以当时，，即，当时，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.故选：ABD.填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，对任意都有，若，则的值为 .【答案】【解析】当，则，即，又，则，所以是首项为，公比为的等比数列，则，则，即，，可得.故答案为：14．（2023秋·陕西 ）已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是 .【答案】【解析】设，则.因为，所以，则是上的增函数.不等式等价于，，即，则解得.故答案为：15．（2023秋·河南 ）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .【答案】【解析】令且，则，又当时，，所以当时，，所以在上递增，由为偶函数，则，故为奇函数，所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图：又等价于，等价于或，等价于或，所以或，故.故答案为：.16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 .【答案】【解析】因为（且），所以，所以，，，，所以，即，又，所以，所以，则，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以数列单调递减，又当时，又当时，所以，则最小正整数的值为.故答案为：解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023秋·辽宁沈阳 ）记为数列的前项和，已知.(1)求的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，；当时，；经检验：满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）得，，，所以.即，即.18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)或(2)证明见解析【解析】（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，得，即，即，解得或.当时，；当时，.综上所述，或.（2）由（1）可知，当数列的公差不为0时，，，则，，所以，又，所以.19．（2023秋·江苏 ）某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.(1)求的解析式.(2)试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元【解析】（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.20．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知函数.(1)若时，求在区间上的最大值与最小值.(2)若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【解析】（1）由题意得.当时，，.由，解得；由，解得.函数在区间上单调递减，在区间单调递增.故又，，函数在区间上的最大值为，最小值为.（2）存在实数，使不等式的解集恰好为，等价于函数只有一个零点.，i）当时，由，解得函数在区间上单调递减；由，解得或，函数在区间上单调递增.又只需要，解得.ii）当时，显然只有一个零点成立.iii）当时，由，解得，即在区间上单调递减；由，解得或，即函数在区间上单调递增；又只需要，解得.综上：实数的取值范围是.21．（2023·重庆 ）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）证明：因为，所以，即，因为，所以，故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，所以，则.（2）解：由（1）知，所以.当为偶数时，，因为是单调递减的，所以.当为奇数时，，又是单调递增的，因为，所以.要使存在，使，只需，即，故的取值范围是.22．（2023·广东揭阳 ）已知函数，.(1)讨论的单调性并求极值.(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；(2).【解析】（1）因为在上单调递增，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）因为，所以，当时，，所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，由可得，下面证明当时，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以当时，综上：实数的取值范围为.