高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件练习

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A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以是的一个必要条件，
若 不能得到，，故选：A
2．（2022秋·宁夏银川）设a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“”的充要条件为“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．
3．（2023·云南）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：A
4．（2023·上海宝山）若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由已知，为实数，条件为，结论为，
充分性，若，则成立，所以满足充分性；
必要性，若时，当，时，满足；当，时，不满足；当，时，，所以不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
5．（2023·北京）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，可得，故“”是“”的既不充分也不必要条件故选：D
5．（2023·河南）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】若，则为假命题，所以“”是“”的不充分条件；
若，则为真命题，所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B
6．（2023·天津河西）不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.故选：D
7．（2023·四川遂宁）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.故选：B.
8．（2022秋·新疆昌吉）设：“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由得.
成立时，不一定成立，所以“”是“”的非充分条件；
成立时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
9．（2023·天津南开）命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】C
【解析】若则或者，所以得不到，即充分性不成立.
当时则所以必要性不成立.故选：C
10．（2023·北京）（多选）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】AC
【解析】当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，A正确；
当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；
当时，成立，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，D错误；
故选：AC
11．（2023·广东）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．（U是全集）是的充分不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．是的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，若，则可能且，不能推出，
若，则必有，
故是的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若,则，
故（U是全集）是的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，若，取,则，
若，取，则，
故是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，因为，所以是的充要条件，故D正确.
故选:AD.
12．（2023·江苏）（多选）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．是的充要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．是的充要条件
D．是的必要条件
【答案】BD
【解析】∵若则，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题；
∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．故选：BD.
13．（2023·广东深圳）已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得：，故，解得：,
故实数的取值范围是.故答案为：
14．（2023·宁夏银川）已知各个命题 ，，，，若 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件， 是 的充分必要条件，试问 是 的____条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”）．
【答案】必要不充分
【解析】由已知得，， BA，， CB，，所以，， DA
所以， 是 A 的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.
15．（2023·江苏扬州）已知集合，．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
由题可知，所以，解得，所以实数m的取值范围为.
（2）由题可知，
当时，，即，此时满足题意；
当时，，解得，
综上所述，实数m的取值范围为．
16．（2023春·江西新余·）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
17．（2023·河南洛阳）已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在(2)
【解析】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
18．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)(2).
【解析】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
19．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
20．（2023陕西）已知，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）充分性（条件→结论）
因为，而，
所以成立；
（2）必要性（结论→条件）
因为，而，
又，所以且，从而，且.
所以，所以成立.
综上：成立的充要条件是.
21．（2022秋·甘肃临夏·高一校考阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(3)否存在实数，使是的充要条件．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在.
【解析】（1）因为是的必要条件，所以，又，，
所以，解得，即实数的取值范围是；
（2）若是的必要条件，则⇒，所以，
又或，或，所以，解得，
故实数的取值范围；
（3）若是的充要条件，则，所以，方程组无解，
故不存在实数，使是的充要条件．
22．（2023云南）设集合或，或.
(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】(1)因集合或，或，且，，
则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为，
又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：，
所以实数的取值范围为.
(2)根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当，
而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a，
于是得无论取何值，都有，
所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件.
23．（2023山东）已知，.
（I）是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由：
（II）从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围.
①p是q的必要条件 ②q是p的充分条件 ③是的充分条件
【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）
【解析】（I）由，解得：，
若p是q的充要条件，则，即，此时方程组无解，即不存在，使p是q的充要条件；
（II）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，
若选①，p是q的必要条件，则，
当时，，即成立；
当时，且，解得：，综上所述：；
若选择②，q是p的充分条件，则，
当时，，即成立；
当时，且，解得：，综上所述：；
若选择③，是的充分条件，即q是p的充分条件，则，
当时，，即成立；
当时，且，解得：，综上所述：.
1．（2023·西藏）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
2．（2023·湖南）已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（ ）.
A．B为C的必要条件B．B为A的必要条件
C．C为D的充分条件D．B为D的必要条件
【答案】A
【解析】因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件，
所以，即，
对于A，若B为C的必要条件，即，则，
所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故A正确；
对于B，若B为A的必要条件，即，则，易得不是的必要条件，故B错误；
对于C，若C为D的充分条件，即，则，易得不是的必要条件，故C错误；
对于D，若B为D的必要条件，即，则且，易得不是的必要条件，故D错误.
故选：A
3．（2023·广东东莞）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程有实根，故，解得或.
方程有实根，故，解得.
综上所述，，只有D选项符合.
若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，
则，两式相减得，
由于，所以，所以.
当时，两个方程分别为、，
方程的两个根为；
方程的两个根为；
即方程与有一个公共实数根.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D
4．（2023·云南曲靖）（多选）下列命题中叙述不正确的是（ ）
A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“”
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件
C．“”的一个充分不必要条件可以是“”
D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件
【答案】BCD
【解析】由关于的方程有实数根可得，
由可得关于的方程有实数根，
所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确；
由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，
所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误；
由不能推出，
所以“”不是“”的充分条件，C 错误；
当时，若，则，若，则，
所以“”是“”的充要条件，
所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误；
故选：BCD.
5．（2023·河北邯郸）（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（ ）
A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件
B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件
C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件
D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】对于选项A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项A正确.
对于选项B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项B正确.
对于选项C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项C正确.
对于选项D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项D错误.
故选：ABC.
6．（2023·云南玉溪）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若a，，则“”是“不全为0”的充要条件
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．是的既不充分也不必要条件
D．“”是“”的充要条件
【答案】ABC
【解析】A．a，，则“，则必有不全为0，则充分性成立；若不全为0，则同样有，则必要性成立，故A正确；
B．不能推出，比如，但是；不能推出，比如，，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；
C．因为，取，，故满足，但是此时，不成立，所以，充分性不成立；若成立，可取，则可以有，所以，必要性不成立；故C正确；
D．不能推出，比如，
满足，但是不满足，所以必要性不满足，故D错误；
故选：ABC.
7．（2022秋·四川南充·高一校考阶段练习）已知非空集合，集合，命题.命题.
(1)当实数为何值时，是的充要条件；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】1）因为集合解得.
集合解得.是的充要条件,故,
即与是方程的两个根，所以.
（2）是的充分不必要条件，故集合是集合的真子集.由（1）知
当时，即或，，
故或解得.
当时，即，，
故或解得.
当时，即或，满足集合是集合的真子集，故或.
综上所述：的取值范围为
8．（2023·江苏苏州）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，，
则，，，
故方程有两个同号且不相等的实根；
再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，
令，
当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线
若关于的方程有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，
则，解得；
当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线
若关于的方程有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的负根，
则函数，有两个负零点，
则，无解；
故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；
方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．
9．（2023·广东揭阳）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或.
【答案】证明见解析
【解析】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根，
当时，方程为，解得，合乎题意；
若时，，设方程的两根分别为、，则，
此时方程有且只有一个负数根；
当时，则，可得，
设方程的两根分别为、，则，
则、均为负数，由题意可知，可得.
所以，“方程有且只有一个负数根”“或”；
充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根；
当时，方程为，解得，原方程只有一个负根；
当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、，
则，此时方程有且只有一个负数根.
所以，“方程有且只有一个负数根”“或”.
综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或.
10．（2023·江苏）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是
【答案】证明见解析
【解析】充分性：
因为，
所以方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
同理，另一方程可化为，
所以，所以，
所以该方程有两个根，
可以发现，所以这两个方程有公共根；
必要性：
设是两方程的公共根，所以，
由①②得：，
若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，
所以，
代入①式得，整理得，
所以；
综上所述，方程与有公共根的充要条件是.