江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三上学期数学期中模拟一

这是一份江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三上学期数学期中模拟一，文件包含江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学期中模拟1教师版docx、江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学期中模拟1学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则的元素个数为 （ C ）
A. B. C. D.
2．已知，，则 （ B ）
A．B．C．D．
3．若等比数列的前n项和为，且 （ C ）
A．80B．120C．150D．180
4．在△ABC中，，为上一点，且，若，则的值为 （ D ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以所以，
因为，所以，即，
因为三点共线，所以，解得，所以，
而,
所以,即.
5．已知函数 的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为 （ D ）
A. B. 3C. D.
【详解】函数的对称轴可表示为：，
在上单调可得，使得， 解得
又. ，∴当3时，可取最大值为
【点睛】本题考查的是正弦型函数的对称性和单调性，属于中档题.
6．已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 （ A ）
A．2B．-2C．1D．-1
【详解】因为函数为奇函数，所以，即函数的图象关于点中心对称；
因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线轴对称；
又当时，，所以，
7．如图，在四边形中，，
的面积为3，则长为 （ B ）
A．B． QUOTE C．D． QUOTE
8．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于 （ A ）
A. B. 28C. D. 14
【详解】先作出的大致图象，如下
令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，即，此时有两个整数根或，而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，显然只有符合题意，当时有，则，解方程得的另一个正根为，又，此时五个整数根依次是，显然最大的根和最小的根和为.故选：A
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9．已知，，，则 （ AB ）
A. B.
C. D.
【详解】由，及，可得即，及即，则A正确，C错误；由可得，由可得，
则，则，即，B正确；
，由可得，则，时取等，D错误；故选：AB．
10．已知函数，则以下说法正确的是 （ABD ）
A. ，使得为偶函数 B. 若的定义域为，则
C. 若在区间上单调递增，则的取值取值范围是
D. 若的值域是，则
【详解】对于A，在中，取，则，此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确；对于B，因的定义域为，则恒成立，即，解得，故B正确；
对于C，令，因在定义域上单调递减，故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0，故有解得，故C错误；对于D，因的值域是，即，由复合函数的单调性可知，此时，由知，
解得，即故D正确.故选：ABD
11．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是 （ ABD ）
A. 若平行四边形的面积为4，则
B. 在正中，若，则
C. 若，，则的最小值为12
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以B正确；
对于C，因为，，所以，，
所以，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C错误；
对于D，若，，且为单位向量，
则当，，，时，，
，
此时，所以D正确.故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________.
【详解】圆的半径为1.又，为等边三角形.
，且为锐角.
.由三角函数的定义可得，.故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键.
13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为_______．
【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为，公差为的等差数列，所以，，从而，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故答案为：.
14. 与曲线和曲线均相切的直线的方程为______.
【详解】设在点和在点的切线重合，
，，故，即，，
在点处的切线方程为，
将代入得，即，
所以，又，故，则，
故切线方程为，即.故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知，，且.
(1)求的值； (2)求的值.
15．解：（1）因为，
所以
.
（2）因为，所以，又因为，所以，，
所以，又，所以由，解得，
所以，
又，，故，
所以.
16．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和．
16．解：（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，
所以，
化简得：，
当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
，即，．
17．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
（1）求角B的大小;
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求 的最小值.
17．解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
18．已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
18．解：（1）过分别作交于点
交于点，
且，
，∴四边形为平行四边形，平面．
（2），
，
，，．
（3）取中点，连接为等边三角形且，．
在中，，由
在中，为中点，，，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系．
．
，又，，
，
设平面的一个法向量，
而平面的一个法向量
，或．
19．已知函数，（）.
(1)讨论的单调性； (2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
19．解：（1）的定义域为R，，
当时，恒成立，故单调递增，
当时，，令，可得或，
令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，令，
可得或，令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）对任意的，都有，即，
令，，
故在上单调递增，
则在恒成立，
令，则恒成立，对称轴为，
要想在上恒成立，
需要满足，解得，解得，
此时对称轴在左侧，在上单调递增，
故在上恒成立，故实数a的取值范围为.