2024-2025学年广西钦州市浦北县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西钦州市浦北县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列选项中，是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．（3分）判断方程的根的情况，正确的是
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．（3分）如图，将△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，若，，则的度数是
A．B．C．D．
5．（3分）把x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k（其中h，k是常数）形式的结果为（ ）
A．（x﹣2）2﹣3B．（x﹣4）2﹣15C．（x﹣2）2+3D．（x﹣2）2+15
6．（3分）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是
A．B．
C．D．点与点是对应点
7．（3分）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是
A．B．C．D．
8．（3分）若，是方程两个根，则
A．B．C．D．
9．（3分）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
10．（3分）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位．每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛
A．6B．5C．4D．3
11．（3分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为32米，则长方形的最大面积为
A．平方米B．108平方米C．平方米D．平方米
12．（3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为
A．6B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）方程的二次项系数是 ．
14．（2分）点关于原点对称点的坐标为 ．
15．（2分）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
16．（2分）已知函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围为 ．
17．（2分）如图，△为直角三角形，是斜边，将△绕点逆时针旋转后，能与△重合，如果，求的长为 ．
18．（2分）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）证明：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
22．（8分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量的取值范围．
23．（10分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到
的位置，使得，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24．（10分）某工程队采用，两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划型设备每小时铺设路面比型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
（1）求型设备每小时铺设的路面长度；
（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
25．（10分）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
26．（10分）【探索发现】如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．求证：；
【类比应用】如图②，为等边三角形，以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．当，时，的长为 ；
【拓展应用】如图③，已知；，．若，则四边形的面积为 ．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．）
1．（3分）下列选项中，是一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、不是等式，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：．
2．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
3．（3分）判断方程的根的情况，正确的是
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
解：，，，
△
，
方程没有实数根，
故选：．
4．（3分）如图，将△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，若，，则的度数是
A．B．C．D．
解：△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，
，
在△中，．
故选：．
5．（3分）把x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k（其中h，k是常数）形式的结果为（ ）
A．（x﹣2）2﹣3B．（x﹣4）2﹣15C．（x﹣2）2+3D．（x﹣2）2+15
解：x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3．
故选：A．
6．（3分）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是
A．B．
C．D．点与点是对应点
解：与关于点成中心对称，
，
与为对应点，不符合题意；
对应点到对称中心的距离相等，
，不符合题意；
，，，
，
，不符合题意；
通过观察图象，可得与不是平行关系，符合题意，
故选：．
7．（3分）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是
A．B．C．D．
解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是．
故选：．
8．（3分）若，是方程两个根，则
A．B．C．D．
解：，是方程两个根，
，．
故选：．
9．（3分）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
解：，，为二次函数的图象上的三点，
；
；
，
．
故选：．
10．（3分）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位．每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛
A．6B．5C．4D．3
解：设共有个班级参赛，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：．
11．（3分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为32米，则长方形的最大面积为
A．平方米B．108平方米C．平方米D．平方米
解：由题意，木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米，
长为：．
又设苗圃的面积为，
，
，
当时，随的增大而减小，
，得，
时，最大为，
答：当为米时，苗圃的最大面积为平方米．
故选：．
12．（3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为
A．6B．C．D．
解：将绕点顺时针旋转，得到，，
，，，
为等腰直角三角形，
在中，，，，
，
，
所以符合题意，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）方程的二次项系数是 1 ．
解：方程的二次项系数是1．
故答案为：1．
14．（2分）点关于原点对称点的坐标为 ．
解：点关于原点对称点的坐标为．
故答案为：．
15．（2分）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
解：关于的方程的一个根是，
，
解得，
故答案为：．
16．（2分）已知函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围为 或 ．
解：观察函数图象，可知：当时，函数的图象在的图象下方，
当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
17．（2分）如图，△为直角三角形，是斜边，将△绕点逆时针旋转后，能与△重合，如果，求的长为 ．
解：△为直角三角形，是斜边，
，
△绕点逆时针旋转后，能与△重合，
，，
由勾股定理得：，
．
故答案为：．
18．（2分）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为 ①④⑤ ．
解：①由图象可知：，，
，
，
，故①正确，符合题意；
②抛物线与轴有两个交点，
，
，故②错误，不符合题意；
③当时，，故③错误，不符合题意；
④当时，，
，故④正确，符合题意；
⑤由图象可知，当时，随的增大而减小，故⑤正确，符合题意．
故答案为：①④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
，
或，
，．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）证明：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【解答】（1）证明：x2﹣mx+m﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴．
22．（8分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量的取值范围．
解：（1）二次函数的图象经过点，．
，
解得，
该二次函数的解析式为；
（2）如图，
由图象知，当函数值时，自变量的取值范围．
23．（10分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到
的位置，使得，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】（1）证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
，
，
．
24．（10分）某工程队采用，两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划型设备每小时铺设路面比型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
（1）求型设备每小时铺设的路面长度；
（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
解：（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，，
整理得，，
解得：，（舍去），
的值为10．
25．（10分）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
解：【建立模型】以的中点为平面直角坐标系的原点，如图1所示：
款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，
，，，．
又设抛物线函数关系式为，
抛物线经过点，
，
．
，
【运用模型】，且椅子高度，宽度，
．
，，
，的距离为2．
，
椅子数量为正整数，
最多可摆放的椅子数量为3张．
26．（10分）【探索发现】如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．求证：；
【类比应用】如图②，为等边三角形，以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．当，时，的长为 11 ；
【拓展应用】如图③，已知；，．若，则四边形的面积为 ．
【解答】【探索发现】证明：以为旋转中心把旋转到的位置，
，，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
；
【类比应用】解：以为旋转中心把旋转到的位置，
，，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：11；
【拓展应用】如图③，连接，以为旋转中心，把旋转到的位置，
，，，，，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
四边形的面积，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．