2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
3．（2分）下列选项是一元二次方程的是
A．B．
C．D．为常数）
4．（2分）下列关于的方程中，一定有实数根的是
A．B．
C．D．
5．（2分）下列命题中，是真命题的是
A．如果一元二次方程有两个实数根，那么
B．如果，那么
C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等
D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等
6．（2分）在△中，为中点，下列说法错误的是
A．点、到直线的距离相等
B．如果，，，那么
C．如果，，垂足分别为点，，那么
D．如果，那么
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）当 时，有意义．
8．（3分）化简： ．
9．（3分）的有理化因式可以是 ．（只需填一个）
10．（3分）已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ．
11．（3分）不等式的解集是 ．
12．（3分）在实数范围内因式分解： ．
13．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式． ．
15．（3分）某工厂五月份的产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为 ．（填百分数）
16．（3分）如图，在△中，，平分，，已知，那么 ．
17．（3分）如图，已知，，，如果，，，那么 ．
18．（3分）我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下：
已知，参考以上方法，可求得 ．
三、解答题（本大题共7题，第19-22题每题6分；第23-24题每题8分；第25题12分，满分52分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）计算：．
21．（6分）配方法解方程：．
22．（6分）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度．
23．（8分）求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了△以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明．
已知：如图，在△中， ．
求证： ．
证明：
24．（8分）如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆与，不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长．
25．（12分）已知在△中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点．
（1）如图，当在线段上时．
①设，那么 ．（用含的代数式表示）．
②求证：；
（2）设点到直线的距离为，当△的面积为4时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（2分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意，
故选：．
3．（2分）下列选项是一元二次方程的是
A．B．
C．D．为常数）
解：．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
．是代数式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
．是一元二次方程，故此选项符合题意；
．为常数），当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
4．（2分）下列关于的方程中，一定有实数根的是
A．B．
C．D．
解：、由得，
，
方程没有实数根，故不符合题意；
、，
△，
方程没有实数根，故不符合题意；
、，
当且，同号时，方程没有实数根，故不符合题意；
、，
经整理得：，解得：，
方程有实数根，符合题意；
故选：．
5．（2分）下列命题中，是真命题的是
A．如果一元二次方程有两个实数根，那么
B．如果，那么
C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等
D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等
解：．如果一元二次方程有两个实数根，那么，原命题不是真命题，故不符合题意；
．如果，那么，此命题为真命题，故符合题意；
．如图1，△和△都是等腰三角形，且，且腰上的高，从图形中显然可看出这两个三角形不全等，原命题是假命题，故不符合题意；
．如图2，等腰△和△中，，但△与△不全等，因此原命题是假命题，不符合题意．
故选：．
6．（2分）在△中，为中点，下列说法错误的是
A．点、到直线的距离相等
B．如果，，，那么
C．如果，，垂足分别为点，，那么
D．如果，那么
解：连接，过作于，过作于，如图1，
则，
在△和△中，
，
△△，
，
点、到直线的距离相等，故选项正确，但不符合题意；
如图2，
，，，，
，，
，
，
，
，即，
，故选项正确，但不符合题意；
如图3，
为中点，
，
又，，
，
，故选项正确，但不符合题意；
由选知，当时，，与、数量关系无关，故选项错误，符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）当 时，有意义．
解：是二次根式，
，
．
故答案为：．
8．（3分）化简： ．
解：，
故答案为：．
9．（3分）的有理化因式可以是 （答案不唯一） ．（只需填一个）
解：，
的有理化因式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（3分）已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ．
解：设一元二次方程为：，
一元二次方程有一个根为，
，
，
故该方程为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
11．（3分）不等式的解集是 ．
解：移项、合并同类项得，，
不等式两边同乘以得，．
12．（3分）在实数范围内因式分解： ．
解：根据，其中、是一元二次方程的两个根，
的两个根为，，
，
故答案为：．
13．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
解：原方程可化为：，
一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故答案为：．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式． 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 ．
解：命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式为如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．
故答案为如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．
15．（3分）某工厂五月份的产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为 ．（填百分数）
解：设这个降低的百分率为，
根据题意，得，
解得，（舍去），
这个降低的百分率为，
故答案为：．
16．（3分）如图，在△中，，平分，，已知，那么 52 ．
解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：52．
17．（3分）如图，已知，，，如果，，，那么 5 ．
解：，，
，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
又，
，
故答案为：5．
18．（3分）我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下：
已知，参考以上方法，可求得 ．
解：由题意，可知，
，
，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，第19-22题每题6分；第23-24题每题8分；第25题12分，满分52分）
19．（6分）计算：．
解：
．
20．（6分）计算：．
解：
．
21．（6分）配方法解方程：．
解：，
，
，
，
，
，．
22．（6分）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度．
解：设，则，
点是线段的黄金分割点，
，即，
化简，得，
解得，（舍去），
的长度为．
23．（8分）求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了△以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明．
已知：如图，在△中， 平分，交边于点，且， ．
求证： ．
证明：
解：由题意得：平分，交边于点，且，
求证：．
证明如下：如图：延长至，使，连接，
在△和△中，
，
△△，
，，
平分，
，
，
，
，
故答案为：平分，交边于点，且；．
24．（8分）如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆与，不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长．
解：设米，则米，
根据题意，得，
解得，（舍去），
米，米，
答：新仓库相邻两边的长分别为8米，6米．
25．（12分）已知在△中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点．
（1）如图，当在线段上时．
①设，那么 ．（用含的代数式表示）．
②求证：；
（2）设点到直线的距离为，当△的面积为4时，请直接写出的值．
【解答】（1）①解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②证明：在上取点，使，联结，如图1，
，
，
，
又，
，
，，
，
由①知：，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：当在线段上，过作于，如图2，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
由（1）知：△△，
又△的面积为4，
，即，
，
△，
方程无解，
在线段上，不存在点，使△的面积为4；
点在点的右侧，过作于，在的延长线上取点，使，联结，如图3，
，
又，
，
，，
，
又，
在△和△中，
，
△△，
，
同理可求，
，
，
解得，（舍去），
点在点的左侧，过作于，在的延长线上取点，使，联结，如图4，
同理可证△△，
，
同理可求，
，
，
解得，（舍去），
综上，当的值为或时，△的面积为4．
由题意，可知，得．
原方程变形为，
，
（舍去）或，
．
由题意，可知，得．
原方程变形为，
，
（舍去）或，
．