陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测数学(文)数学试卷(解析版)

这是一份陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测数学(文)数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
2. 已知复数，则（ ）
A. 64B. 55C. D. 65
【答案】D
【解析】,
则.
故选：D.
3. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 3C. D. 9
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，因为，，
所以，所以，
所以.
故选：B
4. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果，
分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝），
（黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝），
（白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）．
他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝），
故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为.
故选：A．
5. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；
对于C，当时，，不符合图象，排除；
对于D，当时，，不符合图象，排除.故选：B
6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，现有下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ②③
【答案】A
【解析】对于①，因为，，所以，又，所以，正确；
对于②，如图正方体中，
记平面为，平面为，为，为，
由正方体性质知，满足，，，但是此时，错误；
对于③，在②的正方体中，记平面为，平面为，为，为，满足，，，但是此时，错误；
对于④，因为，，所以，正确.
故正确结论的序号是①④.故选：A
7. 某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）
A. 估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B. 估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C. 估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时
D. 估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等
【答案】C
【解析】对于A：估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有天，A错误；
对于B：估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：估计该学生每日完成作业时间的中位数为，
则，解得，D错误.故选：C.
8. 在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）

A. 14B. 21C. 24D. 36
【答案】B
【解析】设正四棱台的高为，则，，
，
又，，
正四棱台的体积
.故选：B.
9. 已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
则，
又，则，所以，
解得，所以抛物线的方程为.故选：A.

10. 已知，，执行如图所示的程序框图，则输入的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
，
当时，，不满足，故A错误；
当时，，不满足，故B错误；
当时，，满足，故C正确；
当时，，不满足，故D错误；
故选：C
11. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得.
因，所以.因为，即所以.
故选：.
12. 若，，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】由题意，设函数，直线，
设直线与函数的切点为
可得，可得，解得，可得，
即切点坐标为，则切点到直线的距离为，
又因为表示点到直线的距离为平方，
所以的最小值为.
故选：C.
第II卷
二、填空题
13. 向量，，．若三点共线，则______．
【答案】
【解析】由题意易得，
若三点共线，则有，所以.
故答案为：
14. 已知定义域为的函数满足,且当时,，则______.
【答案】
【解析】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
15. 已知数列的通项公式为，为其前项和，则______．
【答案】
【解析】由题意，数列的通项公式为，
可得
.
故答案为：.
16. 若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则______．
【答案】
【解析】对于椭圆，则，所以，所以①，
又，即，
所以②，
由①②解得.故答案：
二、解答题
（一）必考题
17. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向．
（1）完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；
（2）判断是否有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：，其中：，
解：（1）列联表如下：
男学生有报名意向的概率为，
女学生有报名意向的概率为；
（2）因为，
所以有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
解：（1）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，所以由，得.
因为，所以.
（2）由余弦定理知.
因为，所以，所以，
故的面积.
19. 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．
（1）证明：．
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．
（1）证明：因为是边长为的等边三角形，所以，，
因为为中点，所以，所以为等腰三角形，
所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）解：分别取，的中点，，连接，，，，
因为，分别为，的中点，所以,
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以直线与直线所成角即为异面直线与所成角，
因为是的中点，是边长为的等边三角形，所以，
因为平面，所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，，所以，
在中，由余弦定理可得
，
在中，，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
20. 已知函数．
（1）当时，，，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上单调递增．
（1）解：当时，，
令，
显然时，，则在上单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以，所以；
（2）证明：由，
令，
设，则，所以在上单调递增，
即，
若，则，即，
所以在上单调递增，则，
所以当时，在上单调递增.
21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且虚轴长为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
（1）解：双曲线的渐近线为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
即，又，所以，，则双曲线方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，
则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，.
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，
即，故的面积为定值，且定值为.

（二）选考题
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）记直线与轴的交点为，与曲线的交点为，，求．
解：（1）直线的参数方程为，转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
由，转化为直角坐标系方程为.
（2）直线与轴的交点为，令，则，所以，
将代入中，
可得，则，则均为负数，
所以.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有两个不等实数根，求的取值范围．
解：（1）因为，
所以不等式即或，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）因为方程有两个不等实数根，
即方程有两个不等实数根，
显然不是方程的根，故，
令，
当时，，当且仅当时取等号，
又，且对勾函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
作出的图象，如图所示：
要使方程有两个不等实数根，
即与有两个交点，由图可知或，
即实数的取值范围为.有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计