湖北省武汉市青山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份湖北省武汉市青山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1. 若是最简二次根式，则可能是（ ）
A. 7B. 8C. 0.3D.
【答案】A
【解析】是最简二次根式，
，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中8，，都不合题意，
的值可能是7．
故选：A．
2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
3. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由A.，
∴，故选项A符合题意；
由B.，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
由C.，设设a、b、c的边长分别为，
∵，
∴直角三角形，故选项C不符合题意；
由D.，则
∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.对角线垂直的矩形是正方形，不符合题意；
B.邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
C.由无法证明矩形为正方形，故符合题意；
D.∵在矩形中，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故不符合题意．
故选：C．
7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】由数轴知：，
∴，
∴
=，
故选：B．
8. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ）

A. 12B. 16C. 24D. 36
【答案】D
【解析】∵在中，
∴，，，，
∴，，，
∵，与的角平分线交于点E
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得．
故选：D．
9. 如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（ ）个．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】如图所示，
根据网格的特点可得，
四边形，，，，，为平行四边形，
所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选C．
10. 如图，在中，D为的中点，于点E，中垂线交于点F，若，，，则的面积为（ ）（用含t的式子表示）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取的中点M，连接并延长，交的延长线于点N，如图所示：
∵，，
∴，
∵D、M分别为、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵中垂线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
11. 写出一个可以与合并的二次根式 _____．
【答案】（不唯一）
【解析】以与合并的二次根式是，
故答案为：．
12. 如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是______ ．
【答案】
【解析】由题意知，，，
在中，由勾股定理得，
，
即地面钢缆到电线杆底部的距离是，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，，则的面积______．
【答案】12
【解析】∵在中，
∴
∵，∴
在中，
∴
∴．
故答案为：12．
14. 已知，则的值为______．
【答案】12
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
过点H作，
∵，∴，
∵，∴．
∵，∴．
∵，
∴，∴，
∴，故③错误．
故答案为：①②④．
16. 如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，
，
，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（1）解：
，
（2）解：
．
18. 如图，在中，是边上一点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
的长为14．
19. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形， 是矩形．
20. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，点E是中点，求的长．
解：（1）四边形为菱形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）四边形为菱形，
，
，点是中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
又，
，．
21. 如图，是由边长为小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为上一点，点为与网格线的交点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）先以，为边画平行四边形，再在边上画点，使；
（2）先在上画点，使，再在边上画点，使．
解：（1）如图，平行四边形和点即为所求；

（2）如图，点和点即为所求．

22. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）

（1）如图1，在中，，，．
①求的面积；
②设边上的高为，边上的高为，求的值．
（2）如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用．
解：（1）①由已知，，，，
，
∴
；
②∵，
∴，
∴解得，，
∴；
（2）连，过点A作于点F，

∵， ，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由海伦－秦九韶公式，得
，
∴
；
∴植红色花卉的面积为：
，
∴四边形的面积为：
，
∴种植红色花卉的面积为：
，
∴购买花卉的总费用
，
∴出购买花卉的总费用．
23. 已知，为正方形内一点，连接，且，连接并延长与的角平分线交于点．
（1）如图，求的度数；
（2）如图，连接，探索，，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，为边上一点，若，，则的最大值为______．
解：（1）∵为的平分线，
∴，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），，三条线段之间的数量关系：，理由：
过点作，交于点，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，∴，
在和中，
，
∴∴，
∴；
（3）由（）知：，
∴，
如图，连接，交于点，过作于点，连接、，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
由勾股定理得：，
由（）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，，在一条直线上时取等号，
∴的最大值为，
故答案为：．
24. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．
（1）直接写出正方形的边长；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．
解：（1），
，，
，
，
，即，
正方形的边长为6；
（2）由（1）知正方形达长为6，
∵是的中点，∴，
①由翻折得，，
，
连接，
则，
，
，
，
设，
则，
在中，
由，
即，
解得，
的长为2；
②由，，
得垂直平分，
，
又，
（同角的余有相等），
又，，
，
，
，
即的长为；
（3）由翻折知，
又是的中点，
，
由，
当、、共线时，最大，
如图所示，
，，
，
，
，
，
，
点运动的路径长为．