江苏省连云港市七校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省连云港市七校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
2. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，，，
由于，则，解得：.
故选：B.
3. 已知，，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
又，则，，
又，所以，
所以
.
故选：D.
4. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
则.
故选：B.
5. 已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A. 、、B. 、、C. 、、 D. 、、
【答案】C
【解析】因为，，，
对于A：因为，
则不存任何，使得，所以、、不共线，故A错误；
对于B：因为，
则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误；
对于C：因为，
所以，则、、三点共线，故C正确；
对于D：因为，
则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误.
故选：C.
6. 已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，
所以.
故选：C.
7. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，由大角对大边可得，
由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理当时，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
故选：C.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，而，
因此，则，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A B.
C D.
【答案】BC
【解析】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. B. 在区间上只有1个零点
C. 的最小正周期为D.
【答案】ACD
【解析】已知函数，，
：，正确；
B：当，，即，，
在区间上只有2个零点，
则在区间上只有1个零点错误；
C：的最小正周期为，正确；
D：当时，函数，，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故选：ACD．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B. 设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
C. 设，，且，则
D. 若是内的一点，满足，则
【答案】AC
【解析】对于A，由不共线，
与共线，
则，即，所以，解得，故A正确；
对于B，由，的夹角为锐角，得且不共线（同向），
则，解得且，即实数的取值范围为，故B错误；
对于C，由，，则，
由，得，解得，故C正确；
对于D，由，得，
令的中点分别为，则，即，
则是线段靠近的四等分点，
如图，在中，连接，则是的中位线，
所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.
【答案】
【解析】设，
因为和分别是边和的中点，可得，
又因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：.
13. 已知为锐角，且，则_________.
【答案】1
【解析】因为
，
解得或，
又因为，则，可知，
所以.
故答案为：1.
14. 在中，已知，若的最长边的长为，三角形中最小边的长为是___________．
【答案】
【解析】因为在 中，，
，
，即为最大角，A与都为锐角，，
即A为最小角，为最小边，，
由正弦定理，得，解得，则最小边长为.
故答案为:.
四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）求m的值；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意，复数，
所以，
则，
因为为纯虚数，所以，解得.
（2）复数，
因为复数在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得.
16. 已知向量＝（2csα，2sinα），＝（6csβ，6sinβ），且＝2．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数t的值．
解：（1）由＝（2csα，2sinα），＝（6csβ，6sinβ），
得，，
又，∴，则，
设向量与的夹角为θ，则csθ＝，
又θ∈[0，π]，∴.
（2）由，得，
即，
∴4t2﹣12t+36＝27，
∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．
17. （1）已知，求的值；
（2）已知均为锐角，求的值.
解：（1）由，可得，
由，可得，
所以.
（2）因为均为锐角，可得，所以，
由，可得，
由，为锐角，可得，
所以
.
18. 在中，分别为角，，所对的边，已知，.
（1）若的面积等于，求边；
（2）若，求的面积；
（3）求周长的最大值.
解：（1）由余弦定理得：，
由，则，即，
联立方程组，解得，.
（2）由题得，
即，
当时，，则，
故，，
当时，，即，
则有，即，则，
则.
（3）由正弦定理得
，
又，则当时，有，
故周长的最大值为.
19. 在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
解：（1）在中，由余弦定理可知
，
所以
所以平方米.
（2），
解得，因为是钝角，所以，
=，
故需要修建米的隔离防护栏.
（3），
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
解得：，
花卉观赏区的面积为
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时，
答：修建观赏步道时应使得，.