广东省佛山市南海区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份广东省佛山市南海区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了 下列不等式变形正确的是， 下列命题是假命题的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形因式分解不彻底，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
故选：C．
3. 已知实数满足，则下列选项错误的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.两边同减去2得，此项正确
B.两边同减去1得，此项正确
C.先两边同减去2得，再两边同乘以得，此项正确
D.先两边同减去2得，再两边同乘以2得，但与的大小关系不能确定，此项错误
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将点向左平移3个单位长度后的坐标是，即，
故选A．
5. 下列不等式变形正确的是（ ）
A. 由4x﹣1≥0得4x＞1B. 由5x＞3得x＞15
C. 由﹣2x＜4得x＜﹣2D. 由＞0得y＞0
【答案】D
【解析】A.由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.由5x＞3得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.由得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；
故选D．
6. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 同位角相等D. 如果，那么
【答案】C
【解析】A.对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意；
B.直角三角形的两个锐角互余是真命题，故此选项不符合题意；
C.因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项符合题意；
D.如果，那么是真命题，故此选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，平分于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值（ ）
A. 大于3B. 等于3C. 小于3D. 无法确定
【答案】B
【解析】平分，，
，
于点，
，
，
当时，的值最小，
平分，，
，
的最小值是3．
故选：B．
9. 如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
10. 如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是，点B的坐标是，由此可知、点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由点B的坐标是可知， 每个小正三角的高是3，如图，小正三角形边长为a，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
即每个小正三角形的边长为，
∵点C是由点A向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，
∴点C的坐标是，
故选：A
二．填空题
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是 _____________．
【答案】相等的角为对顶角
【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
13. 如果，，那么代数式的值是______．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
故答案为：．
14. 等腰三角形有一个角是，则这个等腰三角形的一个底角为_____________．
【答案】
【解析】①当这个角是顶角时，底角= ；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理．
故答案为：．
15. 如图，四边形，，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，
由翻折可知：，，
，，
∵E是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当D，M，N，C共线时，取得最大值为，
故答案为：．
三．解答题（一）
16. 解不等式组
解：
由①得，
解得，
由②得，
解得，
所以，原不等式组解集为．
17. 已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值．
解：∵
∴
解得：．
18. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求的长是多少厘米？
解：，
，
是的角平分线，，
厘米，，
，
厘米，
在中，由勾股定理得：厘米，
，
厘米．
答：的长是厘米．
19. 如图，在中，，点D从点A出发以的速度向点运动，同时点E从点C出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，问当为何值时，为等边三角形．
解：根据题意可得，，
，
，
，为等边三角形，
，
，，
当为2时，为等边三角形．
20. 如图①所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出了，
（1）直接写出的面积______；
（2）请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
I．图②中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形；
II．图③中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形．
（1）解：；
（2）解：Ⅰ．如图②所示，即为所求；
Ⅱ．如图③所示，即为所求．
四、解答题（二）
21. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点，两直线交于点，已知点坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：
（1）关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______；
（2）直接写出关于的不等式组解集是______；
（3）若点坐标为，关于的不等式的解集是______．
（1）解： 一次函数和的图象，分别与轴交于点、点，
关于的方程的解是，
关于的不等式的解集是；
（2）解：根据图象可得关于的不等式组解集为；
（3）解：点，
结合图象可知，不等式的解集是．
22. 已知：在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：．
（1）解：如图，
是线段的垂直平分线，
（2）证明：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，．
23. 小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以内（包括10本）按标价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的出售．
（1）若设小明重购买本练习本，则当小明到甲商店购买时，需付款______元，当小明到乙商店购买时，需付款______元；
（2）小明在甲、乙两家商店中任意选一家购买练习本，为了节约开支，应怎样选择更划算？
（1）解：根据题意得，当小明到甲商店购买时，须付款：，
当到乙商店购买时，须付款：．
故答案为：；.
（2）解：当时，解得：，则买30本练习本时，两家商店付款相同；
当时，解得：，买少于30本练习本时去乙商店买更划算；
当时，解得：，买多于30本练习本去甲商店买更划算．
答：买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算．
五、解答题（三）
24. 解答下列问题．
（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点A坐标为，的坐标为，则点坐标为 ．
（2）问题探究：如图，平面直角坐标系中，已知，，若，点在第一象限，且，试求出点坐标．
（3）问题解决：如图，直线分别于轴轴交于点、点，，的顶点，分别在线段，上，且，，试求出的面积．
解：（1）过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A坐标为，的坐标为，
∴,
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，
同理，
，，，
点的横坐标为：，
点的纵坐标为：，
故点的坐标为；
（3）过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，
同理，
，，设点的坐标为，
即：，则：，
解得：，则点，
∴，
∴，
∴，
．
25. （1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请举反例．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴，，
又∵M为边BC的中点，
∴，，，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：结论成立，理由如下：
如图，当时，过点A、点D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，，，∴，
∵，，，
在和中，
，
∴，
∴；
当时，过点A、点D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等边三角形，，∴，
∴，
又∵，，，∴，
∵，，，
在和中，，
∴，
∴.