广东省深圳市2024届高三二模数学试卷(解析版)

这是一份广东省深圳市2024届高三二模数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限D. 三，四象限.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知n为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，显然，
当时，，即，
因此当时，，
所以n为正整数，且，有.故选：C.
2. 已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】A
【解析】连接，
因为平面，平面，
所以，
又四边形为正方形，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
同理可证明，
因为，平面，
故平面，
故平面即为平面，
则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.
3. 对于任意集合，下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】对于：如图所知，
为区域①，所以，故错误；
对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确；
对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误；
对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误；
故选：.
4. 已知，且，则函数图象一定经过（ ）
A. 一、二象限B. 一、三象限
C. 二、四象限D. 三、四象限
【答案】D
【解析】当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故选：D
5. 已知，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以，
所以.
故选：B
6. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ）
A. 72种B. 96种C. 144种D. 288种
【答案】C
【解析】由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，
若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种，
若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种，
所以所有符合条件的可能是种.
故选：C.
7. P是椭圆C：（）上一点,、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故为中点，
又，即，则，
又由，则是等腰直角三角形，
故有，化简得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：C.
8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
二、选择题
9. 已知m，n是异面直线，，，那么（ ）
A. 当，或时，
B. 当，且时，
C. 当时，，或
D 当，不平行时，m与不平行，且n与不平行
【答案】AB
【解析】A：当，时，；
当，时，，故A正确；
B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确；
C：当时，由，得或与相交；
当时，由，得或与相交，故C错误；
D：当不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误.
故选：AB
10. 已知函数（，）的最大值为，其部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 满足条件的正实数，存在且唯一
D. 是周期函数，且最小正周期为
【答案】ACD
【解析】因为（其中、），
又，解得，
又，所以，故A正确；
则，
又，即，
结合图象可知，所以，
又，所以，
解得，所以，故C正确；
所以，则为奇函数，故B错误；是周期函数，且最小正周期，故D正确.故选：ACD.
11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】ABD
【解析】由，得该圆心为，半径为，
易知该圆过原点，由，当时，
得，作出函数的图象，如图，
由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有1个交点，
当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有4个交点，
根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________．
【答案】5
【解析】由题意知，，所以，
由，得，
所以.故答案为：5
13. 已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为_____________．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
【答案】
【解析】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，
则在三角形中有，即①，
又由得，即②，
所以由①②得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
14. 已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为_____________；的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.
设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.

根据三角形内心的性质可知，，
又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以点在双曲线的左支上，所以.
而，
所以，
所以为双曲线的左顶点.
所以，
所以，即，
所以，渐近线的倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角为.
又因为，
所以，而，
所以.
故答案为：；
四、解答题
15. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

（1）证明：平面ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：取BC的中点M，连结MA、．

因为，，所以，，
由于AM，平面，且，因此平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.
（2）解：法一：因为，且，所以．
以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，
可得，
令，则，设平面的法向量为，
则，可得，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
法二：将直三棱柱补成长方体．
连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，

因为平面，且平面，所以，
又因为，由于BD，平面，且，
所以平面，则为直角三角形，
由于平面，所以，
因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，
因为平面CPQ，所以，
则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得,
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为.
16. 已知函数，是的导函数，且．
（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：．
（1）解：因为，所以，
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）证明：设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，当时，．
17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ．
（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
，
计算得．
所以．
X的可能取值为0，1，2，3，，
，
，
，
，
．
所以，X的分布列为：
（2）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以．
即．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
即得，
所以．
即．
又因为，，
所以．
因为，，
所以．
即得证．
18. 设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
（1）求C的方程；
（2）若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．
（1）解：设点，，
由题可知，当时，显然有；
当时，直线OM的方程为，点．
联立直线AB与C的方程得，，
所以，，
因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，
所以．
即，，
化简得．
将代入上式得，
则，
所以曲线C的方程为．
（2）证明：（法一）设直线：，联立C的方程，得．
由，得，点，
设AB的中点为E，
因为，，则点．
因为，
所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，
所以△AMN面积为△ABM面积的．
记△AMN的面积为S，点到直线AB：的距离，
所以，
当时，等号成立．所以命题得证．
（法二）设直线：，联立C的方程，得．
由，得，点．所以直线MN与x轴垂直．
记△AMN的面积为S，
所以
．
当时，等号成立．所以命题得证．
19. 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
（1）写出这个数列的前7项；
（2）如果且，求m，n值；
（3）记，，求一个正整数n，满足．
解：（1）根据题意，，，
，，，
，．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．所以．
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．
所以，n为正奇数．又，所以．设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，
即．X
0
1
2
3
P