山东省德州市2024届高三二模数学试卷(解析版)

这是一份山东省德州市2024届高三二模数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】由随机变量，根据正态分布性质可知：，
因，可得，
再根据正态分布曲线的对称性可知：，
所以，
故选：B.
3. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，
则有，解得.故选：C.
4. 已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题，即，
因为是的充分不必要条件，
显然当时满足，
所以当时恒成立，
则在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
所以.
故选：A
5. 展开式中的系数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】现有8个相乘，从每个中三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.
所以，总的选取方法数目就是.
每个这样选取后相乘结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.
故选：C.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：
，
又因为是的一条对称轴，
所以，
即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时，；
时，；
时，；
时，.
故选：B.
7. 在中，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可建立如图所示坐标系：
由图可得：，又，
故直线的方程：，可得，
所以，
故选：C.
8. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，
，
所以，则，
所以，
，，
两式相减可得：
，
所以，
因为，所以在在单调递增，
所以恒成立，所以，
所以的最小值为.
故选：A.
二、选择题
9. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 的最小正周期为
C. 的最小值为D. 在上单调递增
【答案】AC
【解析】对于A，函数定义域为，有，
所以是奇函数，A正确；
对于B，有，
所以，这表明不是的周期，B错误；
对于C，我们有，
而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；
对于D，由于，，
故，所以在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.
10. 已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若满足的直线恰有一条，则
D. 若满足的直线恰有三条，则
【答案】ACD
【解析】A：当时，因为，所以，故A正确；
B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点）
当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，
代入双曲线方程为，解得，此时弦长为，
由于不一定等于，故B错误；
C：若满足的直线恰有一条，
由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，
所以，
此时，故C正确；
D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，
所以，所以，
又，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A. 存在使得
B. 存在使得平面
C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D. 当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则由题：，
所以，，，，
又，，，
所以，即，
，即，
所以，
对A，由上，故A错误；
对B，由题意是平面的一个法向量，
，
故当时，
此时平面，
故B正确；
对C，由上，，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取，则，
设点Q到平面的距离为d，则由得，
又由题意可知，
故，
因为长度为定值，所以为定值，
故当时，三棱锥体积最大，故C正确；
对D，设直线与所成角为，
由上当时
，
当且仅当即时等号成立，故D对.故选：BCD.
三、填空题
12. 已知集合，若，则实数的值为______．
【答案】1或2
【解析】因为集合，若，
所以，所以或或或，或或或或，
解得：或或或或或或或，
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
综上：实数的值为1或2.
故答案为：1或2.
13. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，
所以由余弦定理，得，
所以，又，则，
所以由余弦定理以及基本不等式得：
，
即，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
14. 当时，，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，则，
由，故，即，
即“”是“当时，”的必要条件，
当时，令，则，
故在上单调递增，即，即，
则有，令，则，
故在上单调递增，即，即，则有，
即有，
令，
则，
由，，故，
即在上单调递增，则有，
即，
故“”是“当时，”的充分条件，
故实数的取值范围为.故答案为：.
四、解答题
15. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设的公差为，由题意知，
即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
所以．
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
解：（1）由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45；
（2）（i）由题知，列联表为：
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，，
，所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
（1）证明：连接，取中点，连接．
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，所以．
所以，在中，，同理，
因为，所以．
因为为中点，所以，
因为，且在同一平面内，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，
所以平面平面．因为平面，
所以平面．
（2）解：以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
在直角中，因为，
所以，
在中，，
所以，
又，
所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设二面角为，由图可知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题可知，，且在定义域上单调递增，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
当时，令，则，
所以时，，此时单调递减；
时，，此时单调递增，
当，即时，此时在恒成立，单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
（2）因为，所以，
又，所以，即，
故时，恒成立，
令，，则，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，从而．
将两边同时取以为底的对数可得
整理可得．
令，则，且在上单调递增，
因为且，
所以在上恒成立，
所以恒成立，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，所以，
又因为，所以．
19. 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．
（1）证明：由题意可知，，
所以，所以椭圆方程为，
设直线方程为，
联立，消可得，，
所以，
因为过点的切线为，过点的切线为，
由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上，
法一：联立，消去得，，
将代入上式得，
所以点在直线上．
法二：因为点在两切线上，所以，
所以直线的方程为，又直线过点，所以，解得．
（2）解：将代入得，，
直线的方程为，
设直线和交于点，联立，解得，
又，
所以为线段的中点，
因为，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为12．
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
青年
非青年
合计
喜欢
90
20
110
不喜欢
60
30
90
合计
150
50
200