山西省忻州市忻府区2023-2024学年八年级下学期中数学试卷(解析版)

这是一份山西省忻州市忻府区2023-2024学年八年级下学期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题
1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：，
解得：，
故选：D．
2. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）．
A. B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】A.∵，，
∴
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B.∵，
∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C.∵，
∴三边长为，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
D.∵，
∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
5. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
AB=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AC=，
∴AD=，
∴点D表示数为：-1，
故选B.
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 12D. 18
【答案】B
【解析】由题意得：，
解得，
，
，
，
故选B．
8. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴
，
又，
，
∴中，．故选：C．
9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，，∴．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，解得：．故选：B．
10. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，值最小，
此时，，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题
11. 若，且，则的值是_________．
【答案】1或5
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
当时，；
当时，，
∴的值是1或5，
故答案为：1或5．
12. 如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为____．
【答案】14
【解析】在中，，，，
由勾股定理得：，
∴阴影部分的面积，
故答案为：14．
13. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．
【答案】45°
【解析】连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
14. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________．
【答案】9
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，∴，，
∴．故答案为：9．
15. 如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____．
【答案】或
【解析】如图所示，连接，
∵矩形中，，，分别是的中点，
∴，
∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒，
∴，
当为顶点的四边形为矩形时，
则，
∴①，
解得，；
②，
解得，；
综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形，
故答案为：或．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. 如图，在中，顶点A，B，C均在格点上，为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______；
（2）判断的形状，并说明理由．
解：（1）如图，建立坐标系如下：
∴；
（2）由勾股定理得，，
∴
∴是直角三角形，且．
18. 已知，．
（1）求和ab的值；
（2）求的值；
（3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值．
解：（1）∵，，
∴，；
（2）由（1）得：，，
∴；
（3）∵a的小数部分是x，
∴，
∵b的整数部分是y，
∴，
∴．
19. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，求菱形面积．
（1）证明：∵，D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，∴，
∴．
20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
（1）解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
21. 材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：；
（2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
（3）计算：的值．
解：（1）

（2）



由

（3）

22. 综合与实践：
【问题背景】：
（1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系；
【知识应用】
（2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数；
【解决问题】
（3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：．
（1）解：，；
（2）解：连接，如图所示，
∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）证明：取的中点H，连接，．
∵M，H分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
同理可得且．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与探究：
【问题情境】：
如图①，在正方形中，点E为其内部一点，为直角三角形，且，连接，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，点E的对应点为点，点A的对应点为点C，延长交于点F．
【提出问题】：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展探究】：
（2）如图②，若，请猜想线段与数量关系并加以证明．
解：（1）四边形是正方形．
理由如下：
∵是由绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴，，
又∵，∴，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形是正方形；
（2）．
证明：如图②，过点D作于点H，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
和中，，
∴，
∴，
由旋转可知：，
由（1）可知：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．