专题练2.1　函数的概念和基本性质（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材）

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2.1 函数的概念和基本性质
五年高考
高考新风向
1.(概念深度理解)(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=−x2−2ax−a,xf(x-1)+f(x-2),且当x100 B. f(20)>1 000
C. f(10)a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
考点2 函数的奇偶性
1.(2023全国乙,文5,理4,5分,中)已知f(x)=xexeax−1是偶函数,则a=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x−12x+1为偶函数,则a=( )
A.-1 B.0 C.12 D.1
3.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
4.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
5.(2020课标Ⅱ理,9,5分,中)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在12,+∞单调递增
B.是奇函数,且在−12,12单调递减
C.是偶函数,且在−∞,−12单调递增
D.是奇函数,且在−∞,−12单调递减
6.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数,则a= .
7.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
8.(2022全国乙文,16,5分,中)若f(x)=lna+11−x+b是奇函数,则a= ,b= .
9.(2021新高考Ⅱ,14,5分,中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
考点3 函数的周期性和对称性
1.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则( )
A.f −12=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=( )
A.-94 B.-32 C.74 D.52
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则k=122f(k)=( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
4.(2022全国乙理,12,5分,难)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=( )
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
5.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f32−2x,g(2+x)均为偶函数,则( )
A. f(0)=0 B.g−12=0
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第一次联合模拟,3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x3,则f(lg29)=( )
A.83 B.103 C.809 D.829
4.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,3)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值为 ( )
A.-12 B.0 C.12 D.1
5.(2024湖北T8联盟模拟,6)已知函数f(x)=xlg x+bx+a(a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为 ( )
A.-2 024 B.-2 C.-2 D.-1
6.(2024福建福州质检,5)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
7.(2024江苏宿迁调研测试,7)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时, f(x)=2x-1,则f(lg212)=( )
A.-13 B.-14 C.13 D.12
8.(2024湖南常德模拟,3)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=f(x)x2在(0,+∞)上单调递增
9.(2024广东茂名一模,6)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 023)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.(2024山东菏泽一模,6)已知f(x)=xh(x),其中h(x)是奇函数且在R上为增函数,则( )
A. flg213>f(2−32)>f(2−23)
B. f(2−32)>f(2−23)>flg213
C. flg213>f(2−23)>f(2−32)
D. f(2−23)>f(2−32)>flg213
11.(2024辽宁沈阳育才中学模拟,7)函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(lg3t)+f(lg13t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是( )
A.0,13∪(3,+∞) B.0,13
C.(9,+∞) D.0,19∪(9,+∞)
12.(2024安徽皖江名校联盟二模,8)已知函数y=f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y)-1,当x>1时, f(x)1,则-14的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围为 .
练思维
1.(2024广西柳州三模,8)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|0,则y=f(x)+x3为增函数
11.(多选)(2024安徽黄山第一次质量检测,11)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(-3x),g(x-2)的图象关于直线x=2对称,且g(0)=1,则( )
A. f(x)是奇函数 B.g(1)=0
C. f(x)=f(x+4) D.k=12024gk2=0
12.(多选)(2024江苏南通二调,11)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R, f(x)的图象关于点(2,0)对称,g(0)=g(2)=1,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),则( )
A. f(x)为偶函数
B.g(x)为偶函数
C.g(-1-x)=-g(-1+x)
D.g(1-x)=g(1+x)
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024湖北七市州3月联考,11)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=42x+2,则下列结论正确的有( )
A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f '(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),则i=12024(xi+yi)=4 048
专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念和基本性质
五年高考
高考新风向
1.(概念深度理解)(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=−x2−2ax−a,xf(x-1)+f(x-2),且当x100 B. f(20)>1 000
C. f(10)a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
考点2 函数的奇偶性
1.(2023全国乙,文5,理4,5分,中)已知f(x)=xexeax−1是偶函数,则a=( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x−12x+1为偶函数,则a=( B )
A.-1 B.0 C.12 D.1
3.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是( B )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
4.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)( A )
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
5.(2020课标Ⅱ理,9,5分,中)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( D )
A.是偶函数,且在12,+∞单调递增
B.是奇函数,且在−12,12单调递减
C.是偶函数,且在−∞,−12单调递增
D.是奇函数,且在−∞,−12单调递减
6.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数,则a= 2 .
7.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= 1 .
8.(2022全国乙文,16,5分,中)若f(x)=lna+11−x+b是奇函数,则a= -12 ,b=ln 2 .
9.(2021新高考Ⅱ,14,5分,中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一) .
①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
考点3 函数的周期性和对称性
1.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则( B )
A.f −12=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=( D )
A.-94 B.-32 C.74 D.52
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则k=122f(k)=( A )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
4.(2022全国乙理,12,5分,难)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=( D )
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
5.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( ABC )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f32−2x,g(2+x)均为偶函数,则( BC )
A. f(0)=0 B.g−12=0
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第一次联合模拟,3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x3,则f(lg29)=( B )
A.83 B.103 C.809 D.829
4.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,3)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值为 ( A )
A.-12 B.0 C.12 D.1
5.(2024湖北T8联盟模拟,6)已知函数f(x)=xlg x+bx+a(a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为 ( D )
A.-2 024 B.-2 C.-2 D.-1
6.(2024福建福州质检,5)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是( D )
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
7.(2024江苏宿迁调研测试,7)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时, f(x)=2x-1,则f(lg212)=( A )
A.-13 B.-14 C.13 D.12
8.(2024湖南常德模拟,3)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是( C )
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=f(x)x2在(0,+∞)上单调递增
9.(2024广东茂名一模,6)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 023)=( A )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.(2024山东菏泽一模,6)已知f(x)=xh(x),其中h(x)是奇函数且在R上为增函数,则( C )
A. flg213>f(2−32)>f(2−23)
B. f(2−32)>f(2−23)>flg213
C. flg213>f(2−23)>f(2−32)
D. f(2−23)>f(2−32)>flg213
11.(2024辽宁沈阳育才中学模拟,7)函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(lg3t)+f(lg13t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是( D )
A.0,13∪(3,+∞) B.0,13
C.(9,+∞) D.0,19∪(9,+∞)
12.(2024安徽皖江名校联盟二模,8)已知函数y=f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y)-1,当x>1时, f(x)1,则-14的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围为 (1,+∞) .
练思维
1.(2024广西柳州三模,8)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|0,则y=f(x)+x3为增函数
11.(多选)(2024安徽黄山第一次质量检测,11)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(-3x),g(x-2)的图象关于直线x=2对称,且g(0)=1,则( BCD )
A. f(x)是奇函数 B.g(1)=0
C. f(x)=f(x+4) D.k=12024gk2=0
12.(多选)(2024江苏南通二调,11)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R, f(x)的图象关于点(2,0)对称,g(0)=g(2)=1,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),则( ACD )
A. f(x)为偶函数
B.g(x)为偶函数
C.g(-1-x)=-g(-1+x)
D.g(1-x)=g(1+x)
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024湖北七市州3月联考,11)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=42x+2,则下列结论正确的有( BCD )
A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f '(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),则i=12024(xi+yi)=4 048