专题练4.3　解三角形（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材）

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五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,11,5分,难)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=94ac,则sin A+sin C=( )
A.32 B.2 C.72 D.32
2.(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC =2csB,a2+b2-c2=2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+3,求c.
3.(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA +3cs A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,2bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
考点1 正、余弦定理
1.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acs B-bcs A=c,且C=π5,则B=( )
A.π10 B.π5
C.3π10 D.2π5
2.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cs C=23,AC=4,BC=3,则cs B=( )
A.19 B.13
C.12 D.23
3.(2021全国甲文,8,5分,中)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.2 C.5 D.3
4.(2021全国乙,文15,理15,5分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
5.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= .
6.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC= ,cs∠MAC= .
7.(2022全国甲,文16,理16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
8.(2020新高考Ⅰ,17,10分,易)在①ac=3,②csin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6, ?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
9.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
10.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=π3,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
11.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
12.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
13.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B.
(1)若C=2π3,求B;
(2)求a2+b2c2的最小值.
考点2 解三角形的综合应用
1.(2021全国甲理,8,5分,中)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
2.(2020新高考Ⅰ,15,5分,中)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
3.(2023全国甲文,17,12分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2−a2csA=2.
(1)求bc;
(2)若acsB−bcsAacsB+bcsA-bc=1,求△ABC面积.
4.(2020课标Ⅱ理,17,12分,中)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
5.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
6.(2022全国乙理,17,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cs A=2531,求△ABC的周长.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=23,求b.
三年模拟
练速度
1.(2024黑龙江齐齐哈尔二模,4)在△ABC中,2sin A=3sin B,AB=2AC,则cs C=( )
A.12 B.-12 C.14 D.-14
2.(2024山东青岛一模,4)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.1 B.5 C.2 D.25
3.(2024山东济南一模,5)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acs C+3asin C=b,则A=( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
4.(2024湖北八市联考,7)设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列,则最小内角的正弦值为( )
A.35 B.45 C.55 D.255
5.(2024 T8第二次联考,6)在△ABC中,sin(B-A)=14,2a2+c2=2b2,则sin C=( )
A.23 B.32 C.12 D.1
6.(2024浙江台州二模,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acs C=2ccs A,则bca2的最大值为( )
A.3 B.32 C.32 D.3
7.(2024安徽合肥二模,7)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,1tanA+1tanB+1tanAtanB=1.则△ABC面积的最大值为( )
A.1+2 B.1+3 C.22 D.23
8.(2024广东韶关二模,6)在△ABC中,tan A=14,tan B=35.若△ABC的最长边的长为17,则最短边的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
9.(2024湖北武汉二调,12)在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=3π4,b=6,a2+c2=22ac,则△ABC的面积为 .
10.(2024江苏南通二模,12)在△ABC中,AB=7,AC=1,M为BC的中点,∠MAC=60°,则AM= .
11.(2024河南顶级名校联考,13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且b=acs C+3csin A,则A= ,bsinBc= .
12.(2024湖南岳阳质量检测二,12)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世,自古有“洞庭天下水,岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶A的仰角为30°,则楼高AB为 米.
13.(2024辽宁八市八校联考,13)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图,把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B(点A,B在建筑物的同一侧,且点A,B,C,D位于同一个平面内),测得AB=203 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,67°,在点B处测得点D的仰角为33.5°,则塔高CD为 m.参考数据:sin 37°≈ 35
14.(2024广东广州华南师大附中月考,15)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=32accs B.
(1)求角B的大小;
(2)若a=2,且π4≤A≤π3,求边c的取值范围.
15.(2024山东日照一模,15)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2a-2bsin A=0且a=5,c=42.
(1)求角B及边b的大小;
(2)求sin(2C+B)的值.
练思维
1.(2024湖南长沙长郡中学二模,15)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,43cs C=3b-csin A.
(1)求A;
(2)已知AM为∠BAC的平分线,且与BC交于点M,若AM=223,求△ABC的周长.
3.(2024山东济南二模,15)如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120°≤θb,则A>B;
(2)请用余弦定理证明:若A>B,则a>b.
2.(新定义理解)(2024福建厦门二模,16)定义:如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍,那么这个三角形叫做倍角三角形.如图,△ABC的面积为S,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2Sc2−b2.
(1)证明:△ABC是倍角三角形;
(2)若c=9,当S取最大值时,求tan B.
4.3 解三角形
五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,11,5分,难)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=94ac,则sin A+sin C=( C )
A.32 B.2 C.72 D.32
2.(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC =2csB,a2+b2-c2=2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+3,求c.
解析 (1)由余弦定理的推论得cs C=a2+b2−c22ab=2ab2ab=22,又0