拔高点突破02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc166662126" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc166662126 \h 2
\l "_Tc166662127" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc166662127 \h 2
\l "_Tc166662128" 题型一：柯西不等式之直接套公式型 PAGEREF _Tc166662128 \h 2
\l "_Tc166662129" 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 PAGEREF _Tc166662129 \h 3
\l "_Tc166662130" 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 PAGEREF _Tc166662130 \h 3
\l "_Tc166662131" 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 PAGEREF _Tc166662131 \h 4
\l "_Tc166662132" 题型五：柯西不等式之整式与分式型 PAGEREF _Tc166662132 \h 4
\l "_Tc166662133" 题型六：柯西不等式之多变量型 PAGEREF _Tc166662133 \h 5
\l "_Tc166662134" 题型七：柯西不等式之三角函数型 PAGEREF _Tc166662134 \h 5
\l "_Tc166662135" 题型八：Aczel不等式 PAGEREF _Tc166662135 \h 5
\l "_Tc166662136" 题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 PAGEREF _Tc166662136 \h 6
\l "_Tc166662137" 题型十：权方和不等式之三角函数型 PAGEREF _Tc166662137 \h 6
\l "_Tc166662138" 题型十一：权方和不等式之杂合型 PAGEREF _Tc166662138 \h 7
\l "_Tc166662139" 03 过关测试 PAGEREF _Tc166662139 \h 7
1、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2、Aczel不等式（反柯西不等式）
设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例1】已知且则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
【变式1-1】若，则的最小值为（ ）
A．25B．8C．D．
【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A．B．C．12D．20
【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
【变式4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【变式4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
题型五：柯西不等式之整式与分式型
【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【变式5-1】已知、、，且满足，则的最小值为 .
【变式5-2】已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：柯西不等式之多变量型
【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【变式6-2】已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．417D．以上答案都不对
题型七：柯西不等式之三角函数型
【例7】函数的最大值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【变式7-1】（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【变式7-2】函数的最大值为（ ）
A．B．5C．4D．
题型八：Aczel不等式
【例8】的最小值为 ．
【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
【例9】已知正数，，满足，则的最小值为
【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
题型十：权方和不等式之三角函数型
【例10】已知正实数、且满足，求的最小值 .
【变式10-1】已知为锐角，则的最小值为 .
【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
题型十一：权方和不等式之杂合型
【例11】已知，则的最小值是 ．
【变式11-1】已知，求的最小值为
【变式11-2】求的最大值为
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
2．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（ ）
A．243B．27C．81D．9
3．（2024·福建·模拟预测）设、，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ）
A．10B．4C．2D．
5．已知，则的取最小值时，为（ ）
A．B．C．3D．
6．已知：，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．4
8．已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18B．9C．D．
9．若实数，则的最小值为（ ）
A．14B．C．29D．
10．函数的最小值是
A． B．C．D．
11．若，则的最大值（ ）
A．3B．6C．9D．27
12．函数 的最大值是( )
A．B．C．3D．5
13．已知 ， ，则 的最大值是( )
A．1B．2C．3D．4
14．函数 ，则 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为（ ）
A．3B．C．18D．9
16．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
17．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为
A．B．C．D．
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
20．已知x，y，，且，则的最小值为 ．
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
22．在锐角中，的最小值是 ．
23．函数的最大值与最小值之积为 ．
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
25．已知，则的最小值是 ．
26．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .