第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：单调性的定义及判断
1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增D．是奇函数，且在上单调递减
3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
题型二：复合函数单调性的判断
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：分段函数的单调性
7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：利用函数单调性求函数最值
11．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数
①若，则的最小值为 .
②若有最小值，则实数的取值范围是 .
13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
14．函数的最大值为 .
题型五：利用函数单调性求参数的范围
15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
21．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为
A．B．
C．D．
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
22．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
23．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·高三·江西·期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
26．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2).
题型八：已知函数的奇偶性求参数
27．设函数，若为奇函数，则
28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数为奇函数，则 .
29．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
30．设奇函数 ，则的值为 .
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
32．已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则 ．
33．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
题型十：奇函数的中值模型
35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 .
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中且，，，则和的值一定不会是（ ）
A．和B．-3和4
C．3和-1D．和
37．已知函数，正实数满足，则的最小值为 .
38．已知函数，则是 （填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若，则 .
39．（2024·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
40．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型十二：函数对称性的应用
44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ．
45．（2024·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
46．已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于 .
47．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型十三：函数周期性的应用
49．已知函数的定义域是，，，当时，，则 ．
50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
51．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
52．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4B．点是函数的一个对称中心
C．时，D．
题型十四：对称性与周期性的综合应用
53．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A．B．C．3D．4
54．（2024·云南昆明·一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （ ）
A．21B．22C．D．
55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则 .
56．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A．B．C．D．
57．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A．B．C．4D．6
58．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则 .
题型十五：类周期与倍增函数
59．（2024·江西上饶·一模）已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是．
A．B．
C．D．
60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A．B．
C．D．
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
61．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
62．已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
63．已知函数对任意，，总有，且当时，，．
(1)求证：是上的奇函数；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
3．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．3B．2C．D．
4．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．1
7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．在定义域上单调递增
C．当时，
D．
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A．B．函数是奇函数C．D．的一个周期为3
12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A．B．0C．1D．2
13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
15．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 .
16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 .
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则 ．
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数是偶函数，则 .
16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则 ， ．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc167203397" 01 模拟真题练 PAGEREF _Tc167203397 \h 2
\l "_Tc167203398" 题型一：单调性的定义及判断 PAGEREF _Tc167203398 \h 2
\l "_Tc167203399" 题型二：复合函数单调性的判断 PAGEREF _Tc167203399 \h 2
\l "_Tc167203400" 题型三：分段函数的单调性 PAGEREF _Tc167203400 \h 3
\l "_Tc167203401" 题型四：利用函数单调性求函数最值 PAGEREF _Tc167203401 \h 4
\l "_Tc167203402" 题型五：利用函数单调性求参数的范围 PAGEREF _Tc167203402 \h 4
\l "_Tc167203403" 题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 PAGEREF _Tc167203403 \h 5
\l "_Tc167203404" 题型七：函数的奇偶性的判断与证明 PAGEREF _Tc167203404 \h 5
\l "_Tc167203405" 题型八：已知函数的奇偶性求参数 PAGEREF _Tc167203405 \h 6
\l "_Tc167203406" 题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 PAGEREF _Tc167203406 \h 6
\l "_Tc167203407" 题型十：奇函数的中值模型 PAGEREF _Tc167203407 \h 7
\l "_Tc167203408" 题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 PAGEREF _Tc167203408 \h 7
\l "_Tc167203409" 题型十二：函数对称性的应用 PAGEREF _Tc167203409 \h 8
\l "_Tc167203410" 题型十三：函数周期性的应用 PAGEREF _Tc167203410 \h 9
\l "_Tc167203411" 题型十四：对称性与周期性的综合应用 PAGEREF _Tc167203411 \h 9
\l "_Tc167203412" 题型十五：类周期与倍增函数 PAGEREF _Tc167203412 \h 10
\l "_Tc167203413" 题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 PAGEREF _Tc167203413 \h 10
\l "_Tc167203414" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc167203414 \h 11
\l "_Tc167203415" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc167203415 \h 13