第02讲 导数与函数的单调性（十二大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc168586131" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc168586131 \h 2
\l "_Tc168586132" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc168586132 \h 3
\l "_Tc168586133" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc168586133 \h 4
\l "_Tc168586134" 知识点1：函数的单调性与导数的关系 PAGEREF _Tc168586134 \h 4
\l "_Tc168586135" 知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤 PAGEREF _Tc168586135 \h 5
\l "_Tc168586136" 解题方法总结 PAGEREF _Tc168586136 \h 5
\l "_Tc168586137" 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 PAGEREF _Tc168586137 \h 6
\l "_Tc168586138" 题型二：求单调区间 PAGEREF _Tc168586138 \h 9
\l "_Tc168586139" 题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 PAGEREF _Tc168586139 \h 11
\l "_Tc168586140" 题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 PAGEREF _Tc168586140 \h 13
\l "_Tc168586141" 题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 PAGEREF _Tc168586141 \h 16
\l "_Tc168586142" 题型六：不含参数单调性讨论 PAGEREF _Tc168586142 \h 19
\l "_Tc168586143" 题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析 PAGEREF _Tc168586143 \h 21
\l "_Tc168586144" 题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析 PAGEREF _Tc168586144 \h 22
\l "_Tc168586145" 题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 PAGEREF _Tc168586145 \h 23
\l "_Tc168586146" 题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 PAGEREF _Tc168586146 \h 28
\l "_Tc168586147" 题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析 PAGEREF _Tc168586147 \h 32
\l "_Tc168586148" 题型十二：分段分析法讨论函数的单调性 PAGEREF _Tc168586148 \h 35
\l "_Tc168586149" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc168586149 \h 38
\l "_Tc168586150" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168586150 \h 40
\l "_Tc168586151" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc168586151 \h 45
\l "_Tc168586152" 易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻 PAGEREF _Tc168586152 \h 45
\l "_Tc168586153" 答题模板：利用导数判断函数的单调性 PAGEREF _Tc168586153 \h 46
知识点1：函数的单调性与导数的关系
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；
（3）求出导数的零点；
（4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；
（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.
【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ．
【答案】/
【解析】函数的定义域为，求导得，
由，得，所以的单调增区间为.
故答案为：
解题方法总结
1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
2、若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得
对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.
又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
【典例1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
【变式1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式1-2】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，且为偶函数，故，
由导数性质结合图象可得当时，，
当时，，当时，即，
则由，有，解得，
亦可得，或，或，或，
由可得或，即，
由可得，即，
由，可得，即或（舍去，不在定义域内），
由，可得，
综上所述，关于x的不等式的解集为.
故选：D.
题型二：求单调区间
【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】当时，,
由，解得，所以在区间上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数图象关于原点对称，
所以在区间上单调递增.
故答案为：.
【典例2-2】函数的严格递减区间是 .
【答案】.
【解析】函数的定义域为，
，
令，则且，即的严格递减区间为.
故答案为： .
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出．
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
【变式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 .
【答案】
【解析】因为时，则，
又，则，即，
所以，
令，即，即，
又，则，解得，
令，即，即，
即，解得，
所以在单调递增，
又为奇函数，
当时，在单调递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
【变式2-2】（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
【变式2-3】函数在上的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
故答案为：
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
【典例3-1】已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是.
故选：D.
【典例3-2】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
【方法技巧】
已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．
【变式3-1】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
【变式3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在递增，
所以在上恒成立，
则，即在上恒成立，
由函数单调递增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
【变式3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
【变式3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数的减区间为，则 .
【答案】3
【解析】由题意可得，，解集为，则.
故答案为：3
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
【典例4-1】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
【典例4-2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
【方法技巧】
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
【变式4-1】函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数，
则，
记，
∵在上不单调，
当时不满足；
当时，对称轴为，，
∴或，
故选：C．
【变式4-2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，因在上不单调，
故导函数在上必有变号零点.
令，得，再令，则，
由，得即在上单调递增，所以，
故只需，即，
对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确.
故选:A．
【变式4-3】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．不存在这样的实数k
【答案】B
【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
∴或，
∴或，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式4-4】函数在R上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，而，
要使在R上不单调，则 .
故选：D
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【典例5-1】已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】等价于存在使得成立，即成立，即得解.由题得，
因为函数在上有增区间，
所以存在使得成立，
即成立，
因为时，，
所以.
故答案为：
【典例5-2】若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】，等价于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
则，即在上是增函数，
∴，所以.
故答案为：.
【方法技巧】
已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
【变式5-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述
故答案为：
【变式5-2】若函数在上存在单调递增区间，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，由题意有解，即有解，令,,
时，该函数单调递增；
时,该函数单调递增，
所以，当取得最大值,
所以．
【变式5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对于函数，
，令，
则，因为在区间上单调递减，
所以恒成立，即恒成立，又，
所以，
又在区间上单调递增，
所以恒成立，
所以，解得，
综合得.
故答案为：.
【变式5-4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，则，
函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
又，则，
所以在区间上有解，
所以，，令，，
则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
题型六：不含参数单调性讨论
【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数.若，讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，
当时，，所以，
设，因为、都在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
所以时，单调递减；
时，单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增.
【典例6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数．当时，求的单调区间；
【解析】当时，若，则，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
【变式6-1】已知函数．
判断的单调性，并说明理由；
【解析】
令，
在上递增，，，
在上单调递增.
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，若，求的单调区间.
【解析】若，则的定义域为，
且，
令，解得；令，解得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
当时，讨论函数的单调性．
【解析】当时，可得，其中，则，
设，则，
令，可得恒成立，
所以为上的增函数，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以在上单调递增．
【变式6-4】函数.当时，求函数的单调性；
【解析】当时，，定义域为，
，记，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
【典例7-1】已知函数．讨论函数的单调性；
【解析】由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间.
当时，令解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
【典例7-2】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】（1）函数的定义域是，
因，
①若，则在上单调递增；
②若，则当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增
【方法技巧】
导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.讨论的单调性；
【解析】因为，易知其定义域为，，
当时，在上恒成立，
当时，由，得到，
所以，当时，，时，，
综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为，减区间.
【变式7-2】设函数．讨论的单调性；
【解析】的定义域为，，
若，则，在上单调递增．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
【典例8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数,讨论的单调性；
【解析】由题知，
令，则，
当时，在区间单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数.讨论的单调性；
【解析】的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
【方法技巧】
导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式8-1】已知函数.讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
【变式8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.讨论的单调性;
【解析】，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
【典例9-1】已知函数．讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
【典例9-2】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】（1）因为的定义域为，
又，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得（舍去），；
当，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【方法技巧】
若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式9-1】已知函数，讨论函数的单调性；
【解析】由题知，，，
①当时，，
则时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的增区间是，减区间是；
②当时，，
当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的增区间是和，减区间是；
③当时，，故的单调递增区间是；
④当时，，在和上，单调递增；
在上，单调递减；
故的增区间是和，减区间是，
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是和，减区间是；
当时，的增区间是，
当时，的增区间是和，减区间是．
【变式9-2】已知函数（，为自然对数的底数）.讨论函数的单调性；
【解析】的定义域为，
，
当时，，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令得（舍去），或，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令得或，
若时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
若时，，此时恒成立，
故在上单调递增，
若时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
【变式9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【解析】（1）由题意知，当时，，
则，
故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
【变式9-4】已知函数，．求函数的单调区间.
【解析】函数的定义域为．由题意得,
当时, ，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去）,
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
【典例10-1】已知函数．讨论的单调性
【解析】， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
【典例10-2】已知函数．讨论函数的单调性；
【解析】的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
由于在上单调递减，
故当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减．
【方法技巧】
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
【变式10-1】讨论函数，的单调性
【解析】因为，所以，
即，
当时，，令，解得，
所以时，，所以在上单调递减，
时，，所以在上单调递增；
当时， ，
令，，
当时，令，则，，
所以方程有、两个根， 解得，，
因为，，所以，，
所以不在定义域内，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
时，当时，即时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当，即时，方程有、两个根，
解得，，
因为，，所以，，
，又因为，，
所以当时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减；
综上所述：时， 在是单调递减，在单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增
时，在和上单调递减，
在上单调递增；
时，在单调递减.
【变式10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数．讨论的单调性．
【解析】，
（i）当时，，由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（ⅱ）当时，的判别式，
若，①当时，，在上恒成立，在上单调递增；
②当时，，方程的二根，
由，得或，由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
若，①当时，，在上恒成立，在上单调递减；
②当时，，方程的二根，
由，得，由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
【变式10-3】设函数,求的单调区间.
【解析】， ，
若，则， 则恒成立，此时在上单调递增.
当或,由解得，
当时，列表如下：
当时，列表如下：
综上, 当时,在递减，在递增，在递减；
当时，在上单调递增；
当时，在递增，在递减，在递增.
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
【典例11-1】已知函数,其中.求的单调区间．
【解析】,
令，即解不等式:,
① 当时,解得:,
故的单调区间为：
② 当时, ,所以解得:,
故的单调区间为：
③ ,则,常值函数不具备单调性.
④ 时,解得:或,
故的单调区间为：
综上，当时, 在递减，在递增，在递减;
当时, 在递减，在递增，在递增，在递减；
当时,则,常值函数不具备单调性;
当时, 在递增，在递减，在递减，在递增.
【典例11-2】已知函数.讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，
求导得，
若，则，且当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减；
若，令，解得，
若，即，则恒成立，当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增；
若，即，则当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减；
若，即，则在上恒成立，函数在上递增；
若，即，则当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，
所以当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为和，递减区间为；
当时，的递增区间为，无递减区间；
当时，的递增区间为和，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为.
【方法技巧】
若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式11-1】已知函数，.若，讨论函数的单调性；
【解析】
.
①当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，解得或，
当即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当即时，在上单调递增，
当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
【变式11-2】已知函数．时，讨论的单调性．
【解析】因为，所以，
所以，
所以
令可得，或，
若时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
若，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
若，，且当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为，
当，函数的递增区间为，，递减区间为，
若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间，
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
【典例12-1】已知函数（，且）求函数的单调区间；
【解析】定义域为，（，且），则.
当时，，，
若，则，，得，于是，
若，则，，得，于是，
∴当时， 即在上单调递增；
当时，，，
若，则，，得，于是，
若，则，，得，于是，
∴当时，即在上单调递减；
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【典例12-2】已知函数，.
(1)若，求a的取值范围；
(2)求函数在上的单调性；
【解析】（1）由题意知的定义域为R.
①当时，由得，设，则，
当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，
所以，因此.
②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立.
③当时，，此时.
综上可得，a的取值范围是.
（2）设，，则，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立. 所以.
又由（1）知，
所以当时，，
所以在上单调递增.
【方法技巧】
分段讨论导函数的正负.
【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.
【解析】因为，定义域为，
，
令，因为，则，
可得在上单调递减，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
【变式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数，．讨论函数在上的单调性．
【解析】，
，
当时，此时在内单调递增；
当时，，
此时在内单调递增；
当时，令，
，
在上为减函数．
又，
在上存在唯一零点，使得，
∴当时，递增；
当时，递减．
综上：当时，此时在内单调递增；
当时，当时，，递增；
当时，，递减，其中为方程的根．
【变式12-3】设函数，其中，讨论的单调性.
【解析】由
①时，由，令，解得，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，
（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
1．判断下列函数的单调性：
（1）；
（2）
【解析】（1）,
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
（2），
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
2．证明函数在区间上单调递减．
【解析】因为，所以，
当时，，
所以函数在区间上单调递减．
3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，
【解析】∵等价于，
∴可令，则，在上，
∴在上单调递增，即，
∴在上恒成立，则，得证.
4．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
【解析】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示：
题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减.
（2）1、当时，
当时，，则，即单调递增；
当时，，若，则，，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，，则，即单调递减；
当时，，若，则，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；
2、当时，，对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
3、当、时，：当时，单调递增；当时，单调递减；
4、当、、时，：无单调性.
5．求函数的单调区间．
【解析】函数的定义域为R，时，，
由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减，
所以的递增区间为，递减区间为.
6．作函数的大致图象．
【解析】，定义域为则，所以当或时，当或时，即函数在和上单调递增，在和单调递减，当时，，，，所以，又，，所以函数的大致图象如下所示：
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻
易错分析： 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大（小）于等于0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为0．一定要注意导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【易错题1】若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立；
即在上恒成立；
即在上恒成立；
所以，
故选：C
【易错题2】“当时，函数在区间上不是单调函数”为真命题的的一个取值是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）
【解析】∵，∴，
函数在区间上不是单调函数，
∴在区间上有解,∵，∴,
∴,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.
答题模板：利用导数判断函数的单调性
1、模板解决思路
利用导数判断函数单调性的重点在于准确判断导数的符号，当函数含参数时，则根据参数取值范围进行分类讨论．
2、模板解决步骤
第一步：求的定义域
第二步：求出．
第三步：令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出．
第四步：在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
【典例1】已知函数．讨论函数的单调性；
【解析】易知定义域为，令得或，
①当，即时，令得或，令得；
故在单调递减，在，上单调递增；
②当，即时，恒成立，故在上单调递增；
③当，即时，令得或，
令得，在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，
在，上单调递增.
【典例2】已知函数，求的单调区间.
【解析】函数的定义域为，
求导得，
由可得或，
①当时，由可得，由可得，
②当时，在上恒成立，
③当时，由可得，由可得.
故当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，无递减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关系
2023年乙卷（文）第20题，12分
2023年乙卷（理）第16题，5分
2023年II卷第6题，5分
2022年甲卷第12题，5分
2022年I卷第7题，5分
2021年浙江卷第7题，5分
高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．