第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc168667090" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc168667090 \h 2
\l "_Tc168667091" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc168667091 \h 3
\l "_Tc168667092" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc168667092 \h 4
\l "_Tc168667093" 知识点1：函数的极值 PAGEREF _Tc168667093 \h 4
\l "_Tc168667094" 知识点2：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc168667094 \h 5
\l "_Tc168667095" 解题方法总结 PAGEREF _Tc168667095 \h 6
\l "_Tc168667096" 题型一：求函数的极值与极值点 PAGEREF _Tc168667096 \h 7
\l "_Tc168667097" 题型二：根据极值、极值点求参数 PAGEREF _Tc168667097 \h 11
\l "_Tc168667098" 题型三：求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc168667098 \h 17
\l "_Tc168667099" 题型四：求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc168667099 \h 20
\l "_Tc168667100" 题型五：根据最值求参数 PAGEREF _Tc168667100 \h 26
\l "_Tc168667101" 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 PAGEREF _Tc168667101 \h 30
\l "_Tc168667102" 题型七：不等式恒成立与存在性问题 PAGEREF _Tc168667102 \h 37
\l "_Tc168667103" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc168667103 \h 41
\l "_Tc168667104" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168667104 \h 44
\l "_Tc168667105" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc168667105 \h 46
\l "_Tc168667106" 易错点：对f(x0)为极值的充要条件理解不清 PAGEREF _Tc168667106 \h 46
\l "_Tc168667107" 答题模板：求可导函数 f(x) 的极值 PAGEREF _Tc168667107 \h 46
知识点1：函数的极值
（1）函数的极小值
如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．
（2）函数的极大值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
（4）求极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的解；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
【诊断自测】（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A，，，故为偶函数，不符题意；
对B，，为奇函数，
，得，
当时，时，
故的极小值，故B正确；
对C，为偶函数，不符题意；
对D，无极值，不符题意，
故选：B
知识点2：函数的最大（小）值
（1）函数在区间上有最值的条件：
如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【诊断自测】函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，，
所以的最小值为.
故答案为：.
解题方法总结
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．

题型一：求函数的极值与极值点
【典例1-1】“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点；
当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点；
因此题干两条件是既不充分也不必要条件.
故选：D.
【典例1-2】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是的极大值点D．是的极小值点
【答案】C
【解析】因函数在点处的切线为，
即，则，
于是，，由图知，当时，，此时，
当时，，此时.
对于B项，由上分析，B项显然错误；
对于C, D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减,
即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误；
对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值，
则有 ，故A项错误.
故选：C.
【方法技巧】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式1-1】（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
【答案】
【解析】，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有极大值.
故答案为：.
【变式1-2】（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是．
(1)求实数，的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
【解析】（1）因为，所以，
又在处的切线方程为，
所以，，
解得，．
（2）由（1）可得定义域为，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
因此极小值为，无极大值．
【变式1-3】（2024·北京东城·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的极值点个数.
【解析】（1）因为
则，
可得，
可知切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）令，则，令，
因为的定义域为，且，
可知为偶函数，
因为，
若，则，
取，构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
故在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
对于，结合偶函数对称性可知：
在内单调递减，在内单调递增，
又因为在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：
在内单调递减，在内单调递增，
所以在区间上的有2个极值点，极值点个数为2.
【变式1-4】已知函数，其中．讨论的极值点的个数．
【解析】由题意知，函数的定义域为，
，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，
所以函数在内有一个零点，且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，同①可知，函数在上有且仅有一个极值点1；
③当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
题型二：根据极值、极值点求参数
【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三次函数的性质可知，要使为函数的极大值点，则：
当时，函数大致图象如图（1）所示，则，此时；
当时，函数大致图象如图（2）所示，则，此时.
综上：.
故选：C.
【典例2-2】（2024·高三·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，定义域为，
所以，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以方程有两个不相等的正根，设两根为，
则有，解得，
所以的取值范围为，
故选：A.
【方法技巧】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
【变式2-1】已知函数在处取得极小值，则的值为 ．
【答案】
【解析】由求导，，
依题意，，即，解得或.
当，时，，，
，
当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，
即时，函数取得极小值，符合题意，此时；
当，时，，，
因 ，
即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为：.
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法一： 由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
令，可得，令，
则直线与函数，的图象有两个不同的交点，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞，
所以可作出的图象如图所示，数形结合可知，
即实数a的取值范围是，
故选：D．
解法二 由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，所以，则，即实数a的取值范围是，
故选：D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 .
【答案】3
【解析】由，设，
若不是函数的极值点，则必有，即，所以．
当时，，
故当时，，当时，，
因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故．
故答案为：3
【变式2-4】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，则，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，
所以由可得，则有唯一的根，
直线与函数的图象有一个交点（非切点），
又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，当时，，
则函数得图象如下图所示：
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，所以.
因为函数有两个极值点，
所以是方程的两个根，则有，
所以，同理可得.
设，则，
由，则，即，
由，则，即，
所以，令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，又，所以，又，
所以.
由，则，令，
则在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，即，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式2-6】已知函数，若是的极大值点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由函数，得，
令，
由是的极大值点，易得，
且在上单调递减，
即，所以，即，
当时，，符合题意；
当时，，，
则，，
则，，
则，，在上单调递减，
在上，在上，，符合题意；
所以a的取值范围是.
故答案为：
【变式2-7】已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知，至少要有两个变号零点和，
构造函数，对其求导，,
若，则在上单调递减，
此时若，则在上单调递增，在上单调递减，
此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，则，不合题意；
若，则在上单调递增，
此时若，则在上单调递减，在上单调递增，
令，则，
此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，且，
则需满足，即，
，，故，
所以．
故答案为：
题型三：求函数的最值（不含参）
【典例3-1】函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴在处取极小值，也是最小值，
∴函数最小值为.
故答案为：.
【典例3-2】函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
当时，；当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以的最大值为，
则，又，， 所以的最大值为.
故答案为：.
【方法技巧】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】令，则，故，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，
即函数的最大值为.
故答案为：.
【变式3-2】当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为 ．
【答案】16
【解析】由题意得，
因为时，函数取得极值，
故，
即，当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故时，函数取得极小值，故符合题意，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
则在区间上的最大值为16，
故答案为：16
【变式3-3】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知，则的最小值为 .
【答案】38
【解析】设，
，
设，由，得，
则，，得，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
所以当时，取得最小值，
即的最小值为.
故答案为：
题型四：求函数的最值（含参）
【典例4-1】已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
【解析】（1）当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值.
综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值.
（2），
当时，，所以在上单调递增，所以；
当时，令，得，
（ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以；
（ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
则；
综上：当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
【典例4-2】（2024·四川南充·二模）设函数，．
(1)求函数的单调性区间；
(2)设，证明函数在区间上存在最小值A，且．
【解题思路】（1）根据函数解析式明确定义域，求导，根据导数与单调性的关系，可得答案；
（2）根据函数解析式求导，整理导数，利用（1）的结论，结合隐零点做题思路，可得答案.
【解析】（1）由，则，所以的定义域为，
求导可得，
当且仅当时等号成立，
的增区间为，无单调递减区间.
（2），
由（1）知，在上单调递增，
由知，，，
使且时，，由，则，
时，，由，则，
即在单调递减，在单调递增，
在上存在最小值，且，
又得：，即，
，
设，，
在上单调递增，，，
又，故.
【方法技巧】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
【变式4-1】（2024·四川自贡·一模）函数的最小值为.
(1)判断与2的大小，并说明理由：
(2)求函数的最大值.
【解题思路】（1）先利用导数研究函数的单调性求出最小值，其中满足；再由得；，求出；最后利用对勾函数的单调性即可求解.
（2）先利用导数研究函数的单调性求出最大值，其中满足；再由及（1）中，，得；最后由函数在上单调递增，得，代入，即可求出结果.
【解析】（1）.
理由如下：
由可得：函数定义域为；.
在上单调递增.
，
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
故.

；
，即.
因为函数在上单调递减，
，即
故.
（2）由，得：函数定义域为，，.
在上单调递减.
当时，；当时，.
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
故.
，即.
由（1）知：，
则.
令
函数在上单调递增，在上单调递增.
函数在上单调递增，
.
.
故函数的最大值为.
【变式4-2】已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的最小值.
【解析】（1）当时，，则，所以，
则在处的切线方程为，即，
所以当时，函数在处的切线方程为．
（2）函数，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；
当时，函数的最小值．
综上可得.
【变式4-3】已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【解题思路】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围.
【解析】由求导得，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
设函数，，
当时，从而单调递减，
而，所以，即的取值范围是，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
而，所以，即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【变式4-4】已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)当时，求函数在上的最大值.
【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论的取值范围即可得解；
（3）根据的取值范围，结合（2）中结论得到的单调性，从而得到其最值.
【解析】（1）因为，
当时，，则，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
则，
令得或，
当时，，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
；
当时，，在上单调递增，没有极值；
当时，，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
，；
当时，的单调递增区间为，没有极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
，；
（3）因为，所以，，
由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，
所以.
题型五：根据最值求参数
【典例5-1】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）
【解析】由可知，，
又在上有最小值，
所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以，解得，
又因为，所以.
故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.
【典例5-2】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
【答案】/
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：
【方法技巧】
已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
【变式5-1】（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
若，则时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
所以当时，有最小值，满足题意；
若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；
综上，，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【变式5-2】（2024·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】/0.5
【解析】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
【变式5-3】已知函数的最小值为1，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】，，
设，，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故，故有解，即，，，
即，，
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递增；
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知，解得或，即.
故答案为：.
【变式5-4】若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 .
【答案】/
【解析】由题意知，
令，原函数变为.
令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
即对于，，即，当且仅当时取最小值，
所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；
也即函数与函数图象有交点即可；
令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，
在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：
即即满足题意；
所以.
故答案为：
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用
【典例6-1】已知，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中a∈（0，＋∞）．
（1）判断f（x）的单调性并求其最值；
（2）若g（x）存在极大值，求a的取值范围，并证明此时g（x）的极大值小于0．
【解题思路】（1）求出，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2），令，则，可得，求出导函数，且，讨论或，确定函数的单调性，可得函数的极大值，并求出极大值，即可求解.
【解析】（1）∵，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，且无最小值．
（2），
令，则，
∴．
令，
∵函数是上的单调递增函数，
∴由复合函数的单调性可知，存在极大值存在极大值，
且取到极大值取到极大值，
其中，且．
∵，
∴，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴．
①当时，，则在上恒成立，
∴在上单调递增，则无极值点；
②当时，，取，，
有，，
∴在上有唯一零点，
设为，且时，，时，，
∴当时，在上有唯一的极大值点．
∵，∴，
∴，
令，
则，
∴在上单调递增．
又，
∴，
即的极大值小于0，
综上，有时，存在极大值，且此时的极大值小于0．
【典例6-2】（2024·高三·湖南·期末）已知函数有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围.
（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.
（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.
【解题思路】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.
（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.
（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.
【解析】（1）定义域为，.
因为有两个不同的极值点，且，
所以有两个不同的正根，，解得.
（2）因为，不妨设，所以，，
所以
.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即的极大值与极小值之和的取值范围是.
（3）由（2）知.因为，
所以，
所以.
因为，所以
.
令，则，
所以在上单调递减，无最小值，
故没有最小值.
【方法技巧】
函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.
【变式6-1】设
(1)若，讨论的单调性;
(2)若，求的最大值(用表示);
(3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围.
【解题思路】（1）求出的导数，讨论其符号可得其单调性；
（2）求出函数的导数，利用隐零点及同构方法得到且，化简后可得最大值；
（3）由题设可得的导数有三个不同的变号零点，从而得到，有三个不同的变号零点，设，就、分类讨论可得参数的取值范围.
【解析】（1）时，，故，
令，则，
故在上为减函数，而，
故在上，即，在上，即.
故的单调增区间为，单调减区间为.
（2），
设，，
则，故在为减函数，
而时，，而，
故在上存在唯一的使得，
且当时，即，当时，即
故在上为增函数，在为减函数，
故，其中，
即即，
设，则，故为上的增函数，
而，故，，故，
故.
（3）结合（2）可知，
且，有三个不同的变号零点，
而即，
令，，
则，
故当或时，，
当或时，，
故在，上递增；
在，上递减，
而，故，
若，则，
而当时，，
故在上恒成立即在上恒成立，
所以在上为减函数，故至多有一个零点，不合题意.
若即即，
此时，
因，故，
而当时，，
故在上有且只有两个零点，
设它们分别为，且，
故当时，即，
当时，即，
故在为减函数，在上为增函数，
因为，故，故，
，
令，则，
故在上为增函数，故，故，
故，故.
，
设，，则，
故在为增函数，故，所以，
又时，，时，，
故此时有三个不同的零点，
综上，.
【变式6-2】（2024·海南·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
(2)设函数有一个极大值为，一个极小值为，试问：是否存在最小值？若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，请说明理由．
【解析】（1）函数的定义域为，
由题意知，
即在区间上恒成立．
令，则不等式在上恒成立．
设，则
解得，
则的取值范围为．
（2）因为，
所以由题意知方程，
即至少有两个不同的实数根．
令，则方程有且仅有两个不同的正实数根．
设为方程的两个实数根，
则解得．
假设存在最小值，
设与相对应的方程的两个根为，
所以当时，；
当时，，
所以，
则．
因为，所以，且，
则．
设，
则，
所以函数在上单调递减，
所以不存在最小值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【典例7-1】已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【典例7-2】已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】的定义域为，
则，
当时，∵，∴，
∴当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，因为
所以，∵，∴，
∴在上为增函数．∴，
依题意有，∴，∴，
故答案为：．
【方法技巧】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式7-1】函数对任意成立，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．2
【答案】D
【解析】由函数，可得，且，
若时，恒成立，函数单调递增，
当时，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以存在，使得时，，不符合题意，则有，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
令，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式7-2】（2024·山东泰安·二模）已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数，可得，
因为，令，解得或，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，不符合题意；
当时，即时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，解得.
（2）当时，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，
当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以，当时，使得，
当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，
若满足题意，只需，即，
当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，
所以，当时，不存在使得，
综上，实数的取值范围为.
【变式7-3】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨设，则，，
则．令，
则，记，则
所以在上单调递增，由，可得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
故选：A
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
5．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
1．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
【解析】（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，，
所以方盒的容积；
（2）
解得：，
当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大.
2．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．
【解析】，
则当时，，
，，函数单减；，，函数单增；
方差在时，取得最小值.
3．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【解析】设销售价为x，可获得的利润为y，
则，
求导得，令，
解得，由知，，
当时，，函数单增；
当时，，函数单减；
因此是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为元/件时，可获得最大利润.
4．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4．
【解析】根据题意，函数f（x）＝x2+px+q，其二次项系数为1；
若当x＝1时，f（x）有最小值4，则f（x）＝（x﹣1）2+4＝x2﹣2x+5，
又由f（x）＝x2+px+q，则p＝﹣2，q＝5．
5．已知函数在处有极大值，求c的值．
【解析】，且函数在处有极大值，
(2)，即，解得或2．
经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故．
故答案为：6．
6．已知A，B两地的距离是、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在，假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
【解析】设汽车以行驶时，
行车的总费用，，
即，，
此时，
当且仅当时，即时取等号成立，
故最经济的车速约为；
如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为元.
易错点：对f(x0)为极值的充要条件理解不清
易错分析：对为极值的充要条件理解不清，导致出现多解.
答题模板：求可导函数 f(x) 的极值
1、模板解决思路
解决求可导函数的极值的问题，关键是检验定义域内导数值为 0 的点左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点为极值点，否则不为极值点.
2、模板解决步骤
第一步：先确定函数的定义域；
第二步：求导数；
第三步：求方程的解；
第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
【易错题1】已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
求导得，
令，可得或，
因为是的极小值点，又，所以，从而．
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【易错题2】函数在取得极值，则实数 .
【答案】
【解析】，
因为函数在取得极值，则，
即，解得或，
当时，，
此时函数无极值，故（舍去）
当时，，
令，则，解得或.
令，则，解得，
所以函数在和上为增函数，在上减函数，
所以在取得极小值，所以实数
故答案为：
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的极值
（2）函数的最值
2024年I卷第10题，6分
2024年II卷第16题，15分
2024年II卷第11题，6分
2024年甲卷第21题，12分
2023年乙卷第21题，12分
2023年II卷第22题，12分
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
复习目标：
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．