重难点突破03 三次函数的图象和性质 （八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc168757678" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168757678 \h 2
\l "_Tc168757679" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168757679 \h 4
\l "_Tc168757680" 题型一：三次函数的零点问题 PAGEREF _Tc168757680 \h 4
\l "_Tc168757681" 题型二：三次函数的最值、极值问题 PAGEREF _Tc168757681 \h 5
\l "_Tc168757682" 题型三：三次函数的单调性问题 PAGEREF _Tc168757682 \h 6
\l "_Tc168757683" 题型四：三次函数的切线问题 PAGEREF _Tc168757683 \h 6
\l "_Tc168757684" 题型五：三次函数的对称问题 PAGEREF _Tc168757684 \h 7
\l "_Tc168757685" 题型六：三次函数的综合问题 PAGEREF _Tc168757685 \h 7
\l "_Tc168757686" 题型七：三次函数恒成立问题 PAGEREF _Tc168757686 \h 9
\l "_Tc168757687" 题型八：等极值线问题 PAGEREF _Tc168757687 \h 10
\l "_Tc168757688" 03过关测试 PAGEREF _Tc168757688 \h 11
1、基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义域为． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③单调性和图像：
性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
题型一：三次函数的零点问题
【典例1-1】一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是 .
【变式1-3】已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.
（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；
（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.
【变式1-4】已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：三次函数的最值、极值问题
【典例2-1】已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是 ．
【典例2-2】已知三次函数无极值，且满足，则 .
【变式2-1】已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-4】（2024·江西新余·二模）已知三次函数的导函数，，为实数.
(1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；
(2)若在区间上的最小值，最大值分别为 ，1，且，求函数的解析式.
题型三：三次函数的单调性问题
【典例3-1】（2024·江西景德镇·一模）设三次函数(b，c为实数)的导数为，设，若在R上是增函数，则的最大值为 .
【典例3-2】已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，函数在处取得极值，求函数的解析式.并确定函数的单调递减区间；
（2）若，且函数在上减函数，求的取值范围.
【变式3-1】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：三次函数的切线问题
【典例4-1】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是 .
【典例4-2】（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ．
【变式4-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
题型五：三次函数的对称问题
【典例5-1】（2024·高三·广东珠海·开学考试）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 .
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式5-1】设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式5-2】函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
【变式5-3】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
题型六：三次函数的综合问题
【典例6-1】若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则 .
【典例6-2】（多选题）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
【变式6-1】（多选题）下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
【变式6-2】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
【变式6-3】给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.
（i）求的拐点；
（ii）若，求证:.
【变式6-4】对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.
题型七：三次函数恒成立问题
【典例7-1】已知，若不等式对任意恒成立，则的取值范围为 .
【典例7-2】若对于任意，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【变式7-1】已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式7-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知三次函数.
（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围.
【变式7-3】已知三次函数，a，，若函数的图象在处的切线方程为
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的极小值；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
题型八：等极值线问题
【典例8-1】设函数，其中a，b为实常数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在极值点，且其中．求证：；
【典例8-2】设函数，，其中、.
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且，其中，求的值.
【变式8-1】设函数，．
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且，其中，求证：．
【变式8-2】设，已知函数．
(1)若，求实数a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数a，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1．以下四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·一模）已知三次函数，，且有三个零点.若三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则零点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个或个
4．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点D．在区间上单调递减
5．（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
6．（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
7．（多选题）定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点D．对任意 ，都有
8．（多选题）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
10．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
11．（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
12．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
13．已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
14．今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数的图象中，过点与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数a的个数，这就是打开盒子的密码： .
15．对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则 ．（且）
16．已知三次函数，且，，，则
17．设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为 ；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的 条切线.
18．（2024·四川成都·三模）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
19．已知三次函数，对于任意，均有 且存在唯一，满足，则
20．已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则 .
21．设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则 ．
22．已知，函数恰有两个零点，则的取值范围为 .
23．已知函数．若时，函数恰有两个不同的零点，则的值为 ，若时，的解集为，且中有且仅有一个整数，则实数b的取值范围为 ．
24．函数的图像如图所示，则的取值范围是 ．
25．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.
(1)若函数，求函数图象的对称中心；
(2)已知函数，其中.
（ⅰ）求的拐点；
（ⅱ）若，求证：.
26．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数.
(1)当时，试求的对称中心.
(2)讨论的单调性；
(3)当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值.
27．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.
28．（2024·高三·山东滨州·期中）已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
29．已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间(1，2)上单调递增，求的取值范围.
30．已知三次函数.
（1）若函数在区间上具有单调性，求a的取值范围；
（2）当时，若，求的取值范围.
31．已知三次函数．
（1）求证：是的零点；
（2）如果是的零点，求证：也是的零点．
32．已知任意三次函数都有对称中心，且的对称中心为，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
33．已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
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