第04讲 解三角形（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：正弦定理的应用
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 .
2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则 .
3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角 .
题型二：余弦定理的应用
4．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若的面积为，则角= .
5．在中，，则角= .
6．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ）
A．B．C．D．
题型三：判断三角形的形状
7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在中，，则的形状为 三角形．
8．在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
9．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为 .
10．对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是
11．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形D．顶角为的等腰三角形
题型四：正、余弦定理的综合运用
12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， .
13．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
14．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
17．在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
题型六：解三角形的实际应用
18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m．
20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米．
21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m)
题型七：倍角关系
23．（多选题）（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ）
A．B．的最小值为3
C．若为锐角三角形，则D．若，，则
24．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为 .
25．设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则 ．
26．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
题型八：三角形解的个数
27．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，．
（1）若，则 ；
（2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 .（请写出所有正确答案的序号）
29．已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为 .
30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是 ．
题型九：三角形中的面积与周长问题
31．（2024·山东·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 .
32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长．
33．（2024·北京西城·二模）已知函数．在中，，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ）
A．B．1C．2D．
4．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南衡阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（ ）
A．10B．11C．D．12
7．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（ ）
A．1B．2C．D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在中，面积，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若角的平分线长为，则
10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
11．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，，则的面积最大值为
C．若，，，则外接圆半径为
D．若，则一定是等腰三角形
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，角的对边分别是，已知，三角形面积为12，则 ．
13．（2024·新疆·三模）在中，，.则 .
14．（2024·四川成都·模拟预测）在中，已知，，，则 ．
15．（2024·湖南长沙·三模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是边上的一点，且平分，求的长.
16．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.
(1)求角B；
(2)若的平分线交于点D，，，求的长.
17．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，求的值和的面积；
(2)在（1）的条件下，求的值；
(3)若，求的值.
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)已知点在边上，且，，，求的面积．
1．（2024年上海高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
4．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
6．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
14．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
15．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171368671" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc171368671 \h 2
\l "_Tc171368672" 题型一：正弦定理的应用 PAGEREF _Tc171368672 \h 2
\l "_Tc171368673" 题型二：余弦定理的应用 PAGEREF _Tc171368673 \h 2
\l "_Tc171368674" 题型三：判断三角形的形状 PAGEREF _Tc171368674 \h 2
\l "_Tc171368675" 题型四：正、余弦定理的综合运用 PAGEREF _Tc171368675 \h 3
\l "_Tc171368676" 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 PAGEREF _Tc171368676 \h 3
\l "_Tc171368677" 题型六：解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc171368677 \h 4
\l "_Tc171368678" 题型七：倍角关系 PAGEREF _Tc171368678 \h 5
\l "_Tc171368679" 题型八：三角形解的个数 PAGEREF _Tc171368679 \h 6
\l "_Tc171368680" 题型九：三角形中的面积与周长问题 PAGEREF _Tc171368680 \h 7
\l "_Tc171368681" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc171368681 \h 8
\l "_Tc171368682" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc171368682 \h 11