第01讲 数列的基本知识与概念（六大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc172367652" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc172367652 \h 2
\l "_Tc172367653" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc172367653 \h 3
\l "_Tc172367654" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc172367654 \h 4
\l "_Tc172367655" 知识点1：数列的概念 PAGEREF _Tc172367655 \h 4
\l "_Tc172367656" 知识点2：数列的分类 PAGEREF _Tc172367656 \h 4
\l "_Tc172367657" 知识点3：数列的两种常用的表示方法 PAGEREF _Tc172367657 \h 5
\l "_Tc172367658" 解题方法总结 PAGEREF _Tc172367658 \h 5
\l "_Tc172367659" 题型一：数列的周期性 PAGEREF _Tc172367659 \h 5
\l "_Tc172367660" 题型二：数列的单调性 PAGEREF _Tc172367660 \h 6
\l "_Tc172367661" 题型三：数列的最大（小）项 PAGEREF _Tc172367661 \h 8
\l "_Tc172367662" 题型四：数列中的规律问题 PAGEREF _Tc172367662 \h 9
\l "_Tc172367663" 题型五：数列的恒成立问题 PAGEREF _Tc172367663 \h 11
\l "_Tc172367664" 题型六：递推数列问题 PAGEREF _Tc172367664 \h 11
\l "_Tc172367665" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc172367665 \h 13
\l "_Tc172367666" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc172367666 \h 14
\l "_Tc172367667" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc172367667 \h 15
\l "_Tc172367668" 易错点：对数列的概念理解不准 PAGEREF _Tc172367668 \h 15
\l "_Tc172367669" 答题模板：数列单调性的判断与应用 PAGEREF _Tc172367669 \h 15
知识点1：数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
【诊断自测】下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列可记为
知识点2：数列的分类
（1）按照项数分：有限和无限
（2）按单调性来分：
【诊断自测】已知函数，设，则下列说法中错误的是（ ）
A．是无穷数列B．是递增数列
C．不是常数列D．中有最大项
知识点3：数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【诊断自测】，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
解题方法总结
（1）若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
（2）在数列中，若最大，则若最小，则

题型一：数列的周期性
【典例1-1】在数列中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（ ）
A．B．1C．D．
【方法技巧】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【变式1-1】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1-2】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，数列的首项为1，且满足．若，则数列的前2023项和为（ ）
A．0B．1C．675D．2023
题型二：数列的单调性
【典例2-1】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
解决数列的单调性问题的3种方法
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的通项公式为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-5】已知数列满足：，（，），数列是递增数列，则实数的可能取值为（ ）
A．2B．C．D．4
【变式2-6】（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-7】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：数列的最大（小）项
【典例3-1】已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 .
【方法技巧】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
【变式3-1】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
【变式3-2】（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ．
【变式3-3】数列的通项，则数列中的最大项的值为 .
【变式3-4】设是的展开式中x项的系数（），若，则的最大值是 .
【变式3-5】已知，则数列的最小值为 .
【变式3-6】在数列中，，，则数列的最大项的值是 ．
题型四：数列中的规律问题
【典例4-1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．为等比数列D．
【典例4-2】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366B．422C．450D．600
【方法技巧】
特殊值法、列举法找规律
【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）定义，，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145B．181C．221D．265
【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12B．13C．40D．121
【变式4-4】（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ）

A．11B．12C．13D．14
题型五：数列的恒成立问题
【典例5-1】已知数列的前n项和且 ，若 恒成立，则的最小值为 ．
【典例5-2】记分别为数列前n项和，已知是公差为的等差数列．若恒成立，则的最小值为 ．
【方法技巧】
分离参数，转化为最值问题．
【变式5-1】已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的正整数恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式5-2】（2024·高三·重庆·期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 .
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若对恒成立，则的取值范围为 .
题型六：递推数列问题
【典例6-1】（2024·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（ ）
A．1B．3C．9D．27
【典例6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（ ）
A．511B．677C．1021D．2037
【方法技巧】
列举法
【变式6-1】（2024·贵州遵义·一模）数列满足，对任意正整数p，q都有，则（ ）
A．4B．C．6D．
【变式6-2】（2024·广东汕头·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464B．465C．466D．467
【变式6-3】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）

A．；nB．；
C．；nD．；
【变式6-4】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
(1)写出前五排座位数．
(2)第排与第排座位数有何关系？
(3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？
【变式6-5】观察下面的图形及相应的点数，回答
(1)写出图中点数构成的数列的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列的通项公式；
(2)若是数列的前项和，证明：.
.
1．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
1．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1），；
（2），.
2．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
3．写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
4．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
5．假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及.
6．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
易错点：对数列的概念理解不准
易错分析：解题时容易找不到数列中的每项之间的相似地方，总结不出来一般规律。
【易错题1】已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ．
【易错题2】数列，，，，…的一个通项公式是 ．
答题模板：数列单调性的判断与应用
1、模板解决思路
判断数列的单调性的方法，一般采用作差法比较数列中相邻两项的大小； 当数列各项符号相同时， 也可用作商法比较； 还可以利用数列通项公式所对应的函数的单调性判断数列的单调性．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件求出数列的通项公式．
第二步：作差（或作商），并化简．
第三步：讨论与（或与1）的大小，得出数列的单调性．
【典型例题1】设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典型例题2】已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）数列的概念
（2）数列的分类
（3）数列的性质
2023年北京卷第10题，4分
2022年乙卷（理）第4题，5分
2021年北京卷第10题，4分
2020年浙江卷第11题，4分
高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.
复习目标：
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断