拔高点突破01 立体几何中的截面、交线问题（九大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份拔高点突破01 立体几何中的截面、交线问题（九大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含拔高点突破01立体几何中的截面交线问题九大题型原卷版docx、拔高点突破01立体几何中的截面交线问题九大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。

\l "_Tc174989142" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174989142 \h 2
\l "_Tc174989143" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174989143 \h 2
\l "_Tc174989144" 题型一：截面作图 PAGEREF _Tc174989144 \h 2
\l "_Tc174989145" 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 PAGEREF _Tc174989145 \h 4
\l "_Tc174989146" 题型三：截面切割几何体的体积问题 PAGEREF _Tc174989146 \h 5
\l "_Tc174989147" 题型四：球与截面问题 PAGEREF _Tc174989147 \h 6
\l "_Tc174989148" 题型五：截面图形的个数问题 PAGEREF _Tc174989148 \h 6
\l "_Tc174989149" 题型六：平面截圆锥问题 PAGEREF _Tc174989149 \h 7
\l "_Tc174989150" 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 PAGEREF _Tc174989150 \h 8
\l "_Tc174989151" 题型八：截面有关的空间角问题 PAGEREF _Tc174989151 \h 10
\l "_Tc174989152" 题型九：交线问题 PAGEREF _Tc174989152 \h 10
\l "_Tc174989153" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174989153 \h 11
解决立体几何截面问题的解题策略．
1、坐标法
所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法．
2、基底法
所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，为空间任意点，则有：
结论1：若与不共线，那么；
结论2：．
3、几何法
从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．
题型一：截面作图
【典例1-1】（2024·河南·三模）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.
在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；
【典例1-2】如图所示，已知正方体，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面．

【变式1-1】如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
【变式1-2】如图，正四面体ABCD中，P是AB上一点，，，，R为CD中点，截面PRQ与CB交于点S．确定S的位置．
题型二：截面图形的形状、面积及周长问题
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ．
题型三：截面切割几何体的体积问题
【典例3-1】（2024·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2B．4:5C．4:9D．5:7
【变式3-1】（2024·贵州贵阳·一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·河北衡水·一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：球与截面问题
【典例4-1】（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
【典例4-2】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ．
【变式4-1】已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
【变式4-2】（2024·陕西西安·三模）如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．

题型五：截面图形的个数问题
【典例5-1】过正四面体的顶点P作平面，若与直线，，所成角都相等，则这样的平面的个数为（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【典例5-2】（2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面
A．有无数多个B．恰有个C．只有个D．不存在
【变式5-2】（2024·浙江·模拟预测）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为，这样的截面有（ ）
A．6个B．12个C．16个D．18个
题型六：平面截圆锥问题
【典例6-1】用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（ ）

A．当时，是抛物线B．当时，是双曲线
C．当时，是圆D．当时，是椭圆
【典例6-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【变式6-1】如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·上海虹口·模拟预测）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）

①圆的面积为；
②椭圆的长轴长为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（ ）
①截面多边形可能是三角形或四边形.
②截面多边形周长的取值范围是.
③截面多边形面积的取值范围是.
④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【典例7-2】（2024·四川·一模）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值D．M的面积存在最大值
【变式7-1】若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．B．1C．3D．2
【变式7-2】（多选题）（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是和的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面与平面ACE垂直，当与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
【变式7-3】正方体中作一截面与垂直，且和正方体所有面相交，如图所示．记截面多边形面积为，周长为，则（ ）
A．为定值，不为定值B．不为定值，为定值
C．和均为定值D．和均不为定值
题型八：截面有关的空间角问题
【典例8-1】（2024·四川成都·高三校联考期末）在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体中，为中点，过的截面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型九：交线问题
【典例9-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面ABCD的交线，平面与平面的交线，若直线AB与所成角为，直线AB与所成角为，则的值是 ．

【典例9-2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱柱中，，，点为的中点，点为的中点，平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【变式9-1】（2024·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ．
【变式9-2】（2024·山东·二模）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ．
【变式9-3】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， .
1．已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
6．（2024·四川成都·二模）在正方体中，、分别是棱、靠近下底面的三等分点，平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A．过点
B．
C．过点的截面是三角形
D．过点的截面是四边形
7．（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C．平面
D．平面平面
8．（多选题）（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．的最小值为
9．（多选题）（2024·福建福州·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，点到直线的距离等于
C．过四点的球的体积为
D．过三点的平面截正方体所得截面为六边形
10．（2024·山西吕梁·二模）已知圆台的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为 .
11．现要将一边长为101的正方体，分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各棱，，，于点P，Q，R，S（可与顶点重合）；（2）线段，，，的长度均为非负整数，且线段，，，的每一组取值对应一种分割方式，则有 种不同的分割方式.（用数字作答）
12．（2024·河南·模拟预测）在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为 .
14．（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .

15．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则 .
16．（2024·河南·三模）在正四棱柱中，，，点P为侧棱上一点，过A，C两点作垂直于BP的截面，以此截面为底面，以B为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值范围是 ．
17．（2024·重庆·三模）在三棱锥中，为正三角形，为等腰直角三角形，且，，则三棱锥的外接球的体积为 ；若点满足，过点作球的截面，当截面圆面积最小时，其半径为 .
18．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
19．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 .
20．（2024·重庆·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，过棱上点作平行于底面的截面若截面边长为1，则截得的四棱锥的体积为 ．
21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则 .

22．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ．
23．（2024·河南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为的中点，过点的平面截正方体的外接球的截面面积的最小值为 .
24．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
25．（2024·广东湛江·模拟预测）在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为 .
26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，则该多边形的周长为 ，该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为 ．