第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（六大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc174312618" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc174312618 \h 2
\l "_Tc174312619" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc174312619 \h 3
\l "_Tc174312620" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc174312620 \h 4
\l "_Tc174312621" 知识点1：多面体的结构特征 PAGEREF _Tc174312621 \h 4
\l "_Tc174312622" 知识点2：简单旋转体 PAGEREF _Tc174312622 \h 5
\l "_Tc174312623" 知识点3：组合体 PAGEREF _Tc174312623 \h 5
\l "_Tc174312624" 知识点4：表面积与体积计算公式 PAGEREF _Tc174312624 \h 6
\l "_Tc174312625" 知识点5：空间几何体的直观图 PAGEREF _Tc174312625 \h 7
\l "_Tc174312626" 题型一：空间几何体的结构特征 PAGEREF _Tc174312626 \h 8
\l "_Tc174312627" 题型二：直观图 PAGEREF _Tc174312627 \h 9
\l "_Tc174312628" 题型三：展开图 PAGEREF _Tc174312628 \h 10
\l "_Tc174312629" 题型四：最短路径问题 PAGEREF _Tc174312629 \h 12
\l "_Tc174312630" 题型五：空间几何体的表面积 PAGEREF _Tc174312630 \h 14
\l "_Tc174312631" 题型六：空间几何体的体积 PAGEREF _Tc174312631 \h 15
\l "_Tc174312632" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc174312632 \h 18
\l "_Tc174312633" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc174312633 \h 19
\l "_Tc174312634" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc174312634 \h 21
\l "_Tc174312635" 易错点：对斜二测画法的掌握不牢 PAGEREF _Tc174312635 \h 21
知识点1：多面体的结构特征
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台，②不是圆台B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台D．③是棱锥，④是棱柱
知识点2：简单旋转体
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）

A． B． C． D．
知识点3：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
知识点4：表面积与体积计算公式
表面积公式
体积公式
【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（ ）
A．B．
C．D．
知识点5：空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2、平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【诊断自测】如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．

题型一：空间几何体的结构特征
【典例1-1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【典例1-2】下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱B．一个棱柱至少有6个面
C．相等的角在直观图中仍然相等D．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
【方法技巧】
空间几何体结构特征的判断技巧
（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式1-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
题型二：直观图
【典例2-1】如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
【典例2-2】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
【变式2-1】由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是 .

【变式2-2】如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为 ．
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）

A．B．C．24D．48
题型三：展开图
【典例3-1】如图，在四棱锥的平面展开图中，底面为等腰梯形，，，，，，，则 ．
【典例3-2】如图，将三棱锥展开为平面图形，已知，，，，则 ．
【方法技巧】
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝ ．
【变式3-2】（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）

A．B．1C．D．2
【变式3-3】将四棱锥沿棱展开为平面图形，如图所示．若，，，，，，则在展开图中，两点之间的距离 ．
题型四：最短路径问题
【典例4-1】在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 .
【典例4-2】（2024·江西九江·一模）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为

【方法技巧】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【变式4-1】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

【变式4-2】正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是 ．
【变式4-3】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ．
【变式4-4】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
【变式4-5】（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 .
题型五：空间几何体的表面积
【典例5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．18
【典例5-2】（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ．
【方法技巧】
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
【变式5-1】（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）

A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．8B．12C．24D．48
【变式5-3】（2024·广东江门·一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.
题型六：空间几何体的体积
【典例6-1】（2024·福建龙岩·三模）已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】（2024·山东·模拟预测）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．

【方法技巧】
求空间几何体的体积的常用方法
【变式6-1】如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 .
【变式6-2】（2024·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 ．
【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面棱长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为 .
【变式6-4】（2024·山东菏泽·二模）已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为 ．
【变式6-5】（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .

【变式6-6】已知正三棱柱的棱长均为分别是棱的中点，则几何体的体积为 .
1．（2024年天津高考数学真题）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
1．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.
（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；
（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
2．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
4．如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
5．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果取整数）
易错点：对斜二测画法的掌握不牢
易错分析：在用斜二测画法画直观图时，角度、距离发生改变，故解此类问题要先画出图形，再根据图形求解.
【易错题1】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ．
【易错题2】若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为 ．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）基本立体图形
（2）表面积与体积
2024年I卷第5题，5分
2024年甲卷（理）第14题，5分
2024年天津卷第9题，5分
2023年乙卷（理）第8题，5分
2023年甲卷（文）第10题，5分
2023年天津卷第8题，5分
2023年II卷第14题，5分
2023年I卷第12题，5分
（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；
（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；
（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理．
复习目标：
（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题．
（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
锥体
台体
球
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积