2025中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期10月测试数学试卷含解析

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本试卷共150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知单位向量和，若，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1：2B. 1：1C. 3：4D. 2：3
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 2B. 0C. 3D. 无穷
7. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）
A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位
C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点横坐标变为原来的3倍
8. 定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．
9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确是（ ）
A. 事件“为偶数”的概率为
B. 事件“ab为偶数”的概率为
C. 设，则X的数学期望为
D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在直线，使得以AB为直径的圆与相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________．
13. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．
14. 已知，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．
（1）若，，求的面积；
（2）记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．
16. 如图所示，在四棱锥中，，，．

（1）若平面，证明：平面；
（2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长．
17. 已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．
18. 已知函数，．
（1）若，证明：；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若，记，讨论函数的零点个数．
19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：．
（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．
附：，其中．
0.05
0.025
0.010
3.841
5024
6.635