第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc174543425" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc174543425 \h 2
\l "_Tc174543426" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc174543426 \h 3
\l "_Tc174543427" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc174543427 \h 4
\l "_Tc174543428" 知识点1：四个公理 PAGEREF _Tc174543428 \h 4
\l "_Tc174543429" 知识点2：直线与直线的位置关系 PAGEREF _Tc174543429 \h 4
\l "_Tc174543430" 知识点3：直线与平面的位置关系 PAGEREF _Tc174543430 \h 5
\l "_Tc174543431" 知识点4：平面与平面的位置关系 PAGEREF _Tc174543431 \h 6
\l "_Tc174543432" 知识点5：等角定理 PAGEREF _Tc174543432 \h 6
\l "_Tc174543433" 题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” PAGEREF _Tc174543433 \h 7
\l "_Tc174543434" 题型二：截面问题 PAGEREF _Tc174543434 \h 9
\l "_Tc174543435" 题型三：异面直线的判定 PAGEREF _Tc174543435 \h 10
\l "_Tc174543436" 题型四：异面直线所成的角 PAGEREF _Tc174543436 \h 11
\l "_Tc174543437" 题型五：平面的基本性质 PAGEREF _Tc174543437 \h 13
\l "_Tc174543438" 题型六：等角定理 PAGEREF _Tc174543438 \h 14
\l "_Tc174543439" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc174543439 \h 15
\l "_Tc174543440" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc174543440 \h 16
\l "_Tc174543441" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc174543441 \h 18
\l "_Tc174543442" 易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误 PAGEREF _Tc174543442 \h 18
\l "_Tc174543443" 答题模板：异面直线所成的角 PAGEREF _Tc174543443 \h 18
知识点1：四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【诊断自测】在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点确定一个平面B．，，三点共线
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
知识点2：直线与直线的位置关系
【诊断自测】两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线
知识点3：直线与平面的位置关系
【诊断自测】四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
知识点4：平面与平面的位置关系
【诊断自测】下列说法正确的是（ ）
A．若直线两两相交，则直线共面
B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行
C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行
D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个
知识点5：等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【诊断自测】已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例1-1】如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．

证明：直线MQ，，NP相交于同一点．
【典例1-2】空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面．
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1-1】在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.

(1)求三棱锥的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线.
【变式1-2】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、三线交于一点．
【变式1-3】如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
题型二：截面问题
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·四川泸州·三模）已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）

A．B．9C．D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-5】已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-6】（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是D．截面多边形的面积的取值范围是
题型三：异面直线的判定
【典例3-1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）

A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式3-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ）
A．①④B．②③C．①②D．③④
【变式3-2】已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．存在点，使得；B．存在点，使得；
C．直线始终与直线异面；D．直线始终与直线异面.
题型四：异面直线所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式4-1】（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
【变式4-3】如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（2024·高三·江苏南京·期中）已知矩形中，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-5】四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ．
题型五：平面的基本性质
【典例5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面D．三条直线最多可确定4个平面
【典例5-2】（2024·陕西榆林·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两个平面垂直
C．一块蛋糕3刀可以切成6块
D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
【方法技巧】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式5-1】（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（ ）
A．42B．56C．64D．81
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（ ）
A．四点不共面B．四点共面
C．为直角三角形D．为直角三角形
题型六：等角定理
【典例6-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， .
【典例6-2】设与的两边分别平行，若，则 .
【方法技巧】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式6-1】已知空间中两个角，且，若，则 .
【变式6-2】过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条．
【变式6-3】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则 .

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学）过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： .
5．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
1．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？
3．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误
易错分析： 在空间几何中，点、线、面间的位置关系判断错误常源于对基本概念的模糊理解或忽视。
【易错题1】若直线，，满足，，异面，则与（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
【易错题2】在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（ ）
A．一定在直线上；
B．一定在直线上；
C．可能在直线上，也可能在直线上；
D．不在直线上，也不在直线上．
答题模板：异面直线所成的角
1、模板解决思路
根据异面直线所成角的定义，我们可以通过平移的方式，将两条原本不在同一平面内的异面直线转化为在同一平面内相交的直线。接下来，我们需要证明这两条相交直线所形成的角，实际上就是原本那两条异面直线所成的角。一旦证明了这一点，我们就可以利用解三角形等数学方法，来求解这个角的具体大小。
2、模板解决步骤
第一步：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
第二步：证明作出的角是异面直线所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例题1】如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，且，则直线与所成角的大小为 ．

【典型例题2】如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为 ．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）基本事实的应用
（2）空间位置关系的判断
（3）异面直线所成的角
2023年上海卷第15题，5分
2022年上海卷第15题，5分
2022年I卷第9题，5分
2021年乙卷（文）第10题，5分
本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．
复习目标：
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上