第05讲 空间向量及其应用（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
1．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·高三·山东临沂·期末）正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型二：空间共线向量定理的应用
5．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
6．（2024·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 .
7．（2024·高三·上海·期中）已知向量，，若，则的值为 ．
8．已知，，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
题型三：空间向量的数量积运算
9．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
11．（多选题）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
12．已知向量，若，则 ．
题型四：三点共线问题
13．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

14．在长方体中，M为的中点，N在AC上，且，E为BM的中点.求证：，E，N三点共线.
15．如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
题型五：多点共面问题
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．

是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
17．已知，若三向量共面，则等于（ ）
A．B．9C．D．
18．已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
20．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．

(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
题型六：证明直线和直线平行
22．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)．
(1)求证：；
题型七：证明直线和平面平行
23．如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.

求证：平面；
24．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
求证：平面；
25．（2024·天津河北·二模）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.
(1)求证：平面；
题型八：证明平面与平面平行
26．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.
27．在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
28．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
题型九：证明直线与直线垂直
29．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
求证：；
30．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：．
31．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.

(1)求证：.
(2)若㫒面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.
题型十：证明直线与平面垂直
32．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；

33．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面．
34．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面；
题型十一：证明平面和平面垂直
35．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
求证：平面平面；
36．（204·广东深圳·统考模拟预测）在正方体中，如图、分别是，的中点．

(1)求证：平面平面；
37．已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

(1)求证：平面平面；
题型十二：求两异面直线所成角
38．已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
39．（2024·辽宁·一模）如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
40．（2024·高三·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC
(1)记平面平面，证明：平面；
(2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长.
题型十三：求直线与平面所成角
41．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
42．（2024·高三·广东汕头·开学考试） 在四棱锥中，，，，点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
43．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)若，，，是棱上的点，且直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．
题型十四：求平面与平面所成角
44．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
45．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小．
46．（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为.
(1)求平行六面体的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
47．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

(1)证明：；
(2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.
题型十五：求点面距、线面距、面面距
48．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．
(1)求证：；
(2)求点B到平面的距离．
49．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，.
（1）求点C到平面的距离；
（2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离.
50．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点．
(1)求点O到平面的距离；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．
51．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，，点G是线段BF的中点．
(1)证明：平面DAF；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
52．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且．
(1)求四棱锥的表面积
(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离．
53．（2024·辽宁·一模）已知空间中的三个点，则点到直线的距离为 ．
54．（2024·安徽合肥·一模）棱长为1的正方体如图所示，分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为 ．
55．四棱锥中，的中点分别为，底面正方形的边长为，求与间的距离．
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A．B．1C．D．
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为D．直线BC与平面所成的角为
3．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
4．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线与BD所成的角为90°
B．线段的长度为
C．直线与所成的角为90°
D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
5．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．
C．D．
6．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．平面D．平面内存在与平行的直线
7．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面的夹角的正切值为
10．（多选题）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知正方体为中点，为BC中点，则（ ）
A．直线PD与直线平行B．直线与直线垂直
C．直线PQ与直线相交D．直线PQ与直线异面
12．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 ．
13．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ．
14．（2024·高三·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 .
15．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为.
(1)求实数值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
16．（2024·河北·模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．
(1)求
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求平面截四棱锥所得多边形的周长．
17．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形，，，，为对角线与BD的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示：
(1)证明：平面PBM；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线AB与平面所成角的正弦值．
18．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
(3)设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
3．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
5．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
8．（2022年新高考天津数学高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
15．（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
16．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，PD=DC=1，为的中点，且PB⊥AM．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc174793779" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc174793779 \h 2
\l "_Tc174793780" 题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算 PAGEREF _Tc174793780 \h 2
\l "_Tc174793781" 题型二：空间共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc174793781 \h 3
\l "_Tc174793782" 题型三：空间向量的数量积运算 PAGEREF _Tc174793782 \h 3
\l "_Tc174793783" 题型四：三点共线问题 PAGEREF _Tc174793783 \h 4
\l "_Tc174793784" 题型五：多点共面问题 PAGEREF _Tc174793784 \h 5
\l "_Tc174793785" 题型六：证明直线和直线平行 PAGEREF _Tc174793785 \h 6
\l "_Tc174793786" 题型七：证明直线和平面平行 PAGEREF _Tc174793786 \h 7
\l "_Tc174793787" 题型八：证明平面与平面平行 PAGEREF _Tc174793787 \h 8
\l "_Tc174793788" 题型九：证明直线与直线垂直 PAGEREF _Tc174793788 \h 9
\l "_Tc174793789" 题型十：证明直线与平面垂直 PAGEREF _Tc174793789 \h 11
\l "_Tc174793790" 题型十一：证明平面和平面垂直 PAGEREF _Tc174793790 \h 12
\l "_Tc174793791" 题型十二：求两异面直线所成角 PAGEREF _Tc174793791 \h 13
\l "_Tc174793792" 题型十三：求直线与平面所成角 PAGEREF _Tc174793792 \h 14
\l "_Tc174793793" 题型十四：求平面与平面所成角 PAGEREF _Tc174793793 \h 15
\l "_Tc174793794" 题型十五：求点面距、线面距、面面距 PAGEREF _Tc174793794 \h 17
\l "_Tc174793795" 题型十六：点到直线距离、异面直线的距离 PAGEREF _Tc174793795 \h 19
\l "_Tc174793796" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc174793796 \h 20
\l "_Tc174793797" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc174793797 \h 25