重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球（二十四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球（二十四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破01玩转外接球内切球棱切球二十四大题型原卷版docx、重难点突破01玩转外接球内切球棱切球二十四大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共113页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc174832535" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174832535 \h 2
\l "_Tc174832536" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174832536 \h 7
\l "_Tc174832537" 题型一：外接球之正方体、长方体模型 PAGEREF _Tc174832537 \h 7
\l "_Tc174832538" 题型二：外接球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832538 \h 8
\l "_Tc174832539" 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 PAGEREF _Tc174832539 \h 11
\l "_Tc174832540" 题型四：外接球之直棱柱模型 PAGEREF _Tc174832540 \h 13
\l "_Tc174832541" 题型五：外接球之直棱锥模型 PAGEREF _Tc174832541 \h 15
\l "_Tc174832542" 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 PAGEREF _Tc174832542 \h 18
\l "_Tc174832543" 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 PAGEREF _Tc174832543 \h 22
\l "_Tc174832544" 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 PAGEREF _Tc174832544 \h 25
\l "_Tc174832545" 题型九：外接球之垂面模型 PAGEREF _Tc174832545 \h 27
\l "_Tc174832546" 题型十：外接球之二面角模型 PAGEREF _Tc174832546 \h 32
\l "_Tc174832547" 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 PAGEREF _Tc174832547 \h 36
\l "_Tc174832548" 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 PAGEREF _Tc174832548 \h 39
\l "_Tc174832549" 题型十三：外接球之坐标法模型 PAGEREF _Tc174832549 \h 42
\l "_Tc174832550" 题型十四：外接球之空间多面体 PAGEREF _Tc174832550 \h 45
\l "_Tc174832551" 题型十五：与球有关的最值问题 PAGEREF _Tc174832551 \h 47
\l "_Tc174832552" 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 PAGEREF _Tc174832552 \h 51
\l "_Tc174832553" 题型十七：内切球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832553 \h 53
\l "_Tc174832554" 题型十八：内切球之棱锥模型 PAGEREF _Tc174832554 \h 55
\l "_Tc174832555" 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 PAGEREF _Tc174832555 \h 58
\l "_Tc174832556" 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 PAGEREF _Tc174832556 \h 60
\l "_Tc174832557" 题型二十一：棱切球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832557 \h 63
\l "_Tc174832558" 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 PAGEREF _Tc174832558 \h 65
\l "_Tc174832559" 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 PAGEREF _Tc174832559 \h 68
\l "_Tc174832560" 题型二十四：多球相切问题 PAGEREF _Tc174832560 \h 69
\l "_Tc174832561" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174832561 \h 73
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，
则正方体的对角线长为，
设正方体的外接球的半径为，可得，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，
由，可得，所以球的表面积.
答案：
【变式1-1】长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的表面积为，
设球的半径为，由题意，，，
长方体的外接球的一条直径为.
因为，，所以，，
则长方体的体积为.
故答案为：
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面体的外接球的半径.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，解得,
故选：A
【典例2-2】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】正四面体的外接球表面积为，
，解得（负值舍去），
设四面体的棱长为，取的中点，连接，
设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接，
则，，
则，
所以，
在直角中，，即，
即，得，得（舍或.
故选：D
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设外接球半径为，则，解得,
将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，
则正方体的体对角线等于外接球的直径，
故，解得，正方体棱长为 ，
故该正四面体的体积为，
故选：A．
【变式2-2】如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形,
在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即,
因为正四面体,所以,所以,
因为是棱的中点,所以，
所以,
设,则,
所以,则,所以,
则正四面体的棱长为,
所以正四面体的外接球半径为,
所以该正四面体外接球的表面积为,
故选：A
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【典例3-2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．
故选：A．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的外心为，的外心为，连接，如图所示，
由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点．
在中，由余弦定理可得
，则，
由正弦定理可得外接圆的直径，则，
而球心O到截面ABC的距离，
设直三棱柱的外接球半径为，
由球的截面性质可得，故，
所以该三棱柱的外接球的体积为，
故选：B．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，在中，，且，
由余弦定理得，
设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即
再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，
在直角中，可得，
所以球的表面积为.
故选：B.
【变式4-1】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，
因此其外接球的半径为，则其表面积为，
故选:B.
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】设，在等腰中，，
设的外心是，外接圆半径是，
则，∴，
设外接球球心是，则平面，平面，则，
同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
设，外接球半径为，即，
则，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，则，
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示，
其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，
要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故答案为：.
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
所以，设的外接圆的半径为，
则由正弦定理得，解得
结合图形分析：
因为D为AC的中点，平面ABC，且，
在中，，，
又，则圆心到点的距离为，
另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，
则中，，即，
直角梯形中，，即，
解得，，所以.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故选：A
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分别取、的中心，连结，过作，
因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以，
因为正三棱台，所以平面，∥，
所以平面，所以为侧棱与底面所成的角，
所以，所以，
设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上，
设外接球O的半径为R，所以，，，
即，，
当在EF的延长线上时，可得，无解；
当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得，
所以正三棱台的外接球表面积为.
故选：D
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接，
则三棱锥的外接球球心在上，连接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
设外接球的半径为，
由，，解得，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选:C.
方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点，
则为底面正三角形的中心，
因为正三角形的边长为2，所以.
因为，所以.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，.
设三棱锥的外接球球心为，半径为.
由，得，解得，
所以，
则三棱锥的外接球表面积.
故选：C.
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令给定的正三棱台为正三棱台，，
令正的中心分别为，而，
则，解得，
的外接圆半径，的外接圆半径，
显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则，
因此，解得，
所以该正三棱台的外接球表面积为.
故选：C
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则，，平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，所以，
即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：A
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取，的中点，，连接，，，
又，
所以，，，
由图形的对称性可知：球心必在的延长线上，
设球心为，连接，，
设半径为，，，
可知，为直角三角形，
所以，所以，
解得，，
所以球的表面积为.
故选：.
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，
因为，
所以点P在平面内的射影是的外心，
即斜边的中点，且平面平面，
于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，
因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．
因为，，
所以，
于是，
根据正弦定理知的外接圆半径R满足，
所以三棱锥的外接球半径为，
因此三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
【变式7-1】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】取的中点，连接，因为，
所以和都是等边三角形，所以，
所以是二面角的平面角，即，
设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，
因为，公共边，所以≌，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为
故答案为：
【变式7-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形，
又，同理可得，，
所以M点是的外心；
又，是以斜边的直角三角形，
在底面的射影为斜边的中点，如下图：
则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，
则在上，则，即，得，外接球的表面积为；
故答案为：
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为，
则有，解得，
则该圆锥的外接球表面积．
故选：C．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆柱的高为，其外接球的半径为，
因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，解得；
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
所以，所以球的表面积为.
故答案为：
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，
如图所示，因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：B.
【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设球的半径为，则，所以，，
取圆台的轴截面，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为、，则、分别为、的中点，
连接、、、、、，则，
由垂径定理可知，，，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，则，
因此，圆台的侧面积为，
故选：D.
题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形，
故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R，
即，解得，
从而三棱锥外接球的体积．
故选：D
【典例9-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，为等边三角形，且高，则，
而，又，则为等边三角形，
平面平面，，平面平面，平面，于是平面，
令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面，
又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面，
因此，等边外接圆半径，
三棱锥的外接球，则，
所以三棱锥的外接球的表面积，
故选：C
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，
，
如图所示：
设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
即，
由题意，且二面角为直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四边形为矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，
设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，
则面面.
由题意得为的外心，
在中，，
所以，
又四边形为矩形，
，设外接球半径为，
则外接球表面积，
故选：B.
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，则球心O在直线上．
连接OA，则，
因为，所以；
因为，所以.
因为，所以球心在线段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故选：B．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】
取外心，外心，中点为，
则，，面，面
所以，，
设，
由正弦定理得，
余弦定理得，所以，
所以由正弦定理得，即，
所以，，，
在四边形中，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积最小值为，
故答案为：.
【典例10-2】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】/
【解析】取和的中点分别为，，过点作面于点，
连结，DO1，,平面,故，
又，则又平面,
故平面，平面，故
则为二面角的补角， ，
因为，，则，且，
易知，
因为为等腰直角三角形，所以是的外心.
设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知，
作，易知为矩形，，
设，，则在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 .

【答案】/
【解析】取的中点，连接，
因为为菱形，所以即为二面角的平面角，
因为，所以和均为正三角形，
取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，
过点作平面，过点作平面，交于点，
则为三棱锥外接球的球心，连接OE,OB，
由对称性知，则，，
因为，
所以，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形，
所以，因为，所以，又，
所以是二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，所以，
又，，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为三棱锥的外接球的直径，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故选：B
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 .
【答案】/
【解析】如图，易知，，所以，
作于点，易知，所以，
，
，
故三棱锥的体积为
.
故答案为：.
【变式11-1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为，，所以，.
因为平面平面，所以平面.
设，
所以，
所以球的体积为.
故选：
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．
∵，，∴，
，，
，，
，
∴，
．
故选：D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
【典例12-2】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则，所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为．
故选：C．
【变式12-1】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为，
所以，
则，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的体积为，
故选：D
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取，则是长方体，
其对角线长为，
∴四面体外接球半径为．
，
故选：B．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中，所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【变式13-1】如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长，外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故选：D.
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形，
设原正方体棱长为，则正六边形边长为，其面积为，解得，
因此原正方体的棱长为，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径为该点到点的距离，所以外接球的表面积为.
故选：D
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【解析】因为棱长为的正四面体的高为，
所以截角四面体上下底面距离为，
序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,
所以，解得，
所以该截角四面体的外接球的表面积为,
故答案为：
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．323π27B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，因为，
所以，所以，
所以，所以四边形必存在一个外接圆，
且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面，
设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接，
则为的中心，且必位于底面的上方，
设，外接球的半径为，则，
所以，所以，当且仅当时，
即与重合时，外接球表面积取得最小值为.
故选：C.
【典例15-2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
故选：B.
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
设的中点为，连接，则，则平面，
设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，
设，，外接球的半径为，
因为，所以，
即，又，则，
因为，所以
所以三棱锥外接球表面积的最大值为.
故选：B.
【变式15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，
因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，
△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设，则，，
因为，所以，所以，
所以
令，则，
所以，当且仅当时取等，
故选:B
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为.
故选：B.
【典例16-2】在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱的底面边长为高为，
对三个侧面进行展开如图，
要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角），
此时在连接线上，故①，
因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球，
所以整理得，
将代入①可得，
所以正三棱柱的底面外接圆半径为，
所以正三棱柱的外接球半径为，
所以该棱柱的外接球表面积为
故选：B
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．
【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，设正三棱柱的外接球的半径为，
则4πR2=40π，解得，
因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，
连接的中心O2,O1，则线段的中点即为球心，
依题意，内切圆半径为，得，
则，解得,
故三棱柱的体积为
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，
则该球的表面积为．
故选：A．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心，
则，.
，，
，
又，，
内切球表面积.
故选：.
【变式17-1】边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，连接交于点，连接，
取的中点，连接，
因为,所以,
,
由可得平面，
且，所以平面，
过作，
因为平面，平面，所以,
且平面，所以平面，
所以为该正八面体结构的内切球的半径，
在直角三角形中，，
由等面积法可得，,解得，
所以内切球的表面积为，
故选:D.
【典例18-2】若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【解析】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，
设球的半径为，
所以，
所以，
于是正四棱锥的体积，解得，
所以正四棱锥的表面积，
设正四棱锥内切球的半径为，
则，解得.
故选：A.
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为四面体四个面都为直角三角形，平面，
所以，，
设四面体内切球的球心为，半径为，
则
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，
所以内切球表面积.
故选：C.
【变式18-2】已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，
则，
过P作底面垂线，垂足为H，则，
所以，则，
故其内切圆表面积为，
故选：B．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】球表面积为，则该球半径为，
设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为，
则此圆锥的轴截面面积为
，解之得，
则该圆锥的侧面积为
故选：B
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，
则，所以，
又，
即，
解得，即内切球的半径为.
故选：B
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，
故梯形的高为，
则该圆台的体积为.
故选：D.
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【答案】
【解析】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
【典例20-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
【答案】A
【解析】设正方体棱长为，
因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径；
正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径；
所以球与球的表面积之比为.
故选：A.
【变式20-1】已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】
如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点，
则为的中点，设，
由题意易知，
则，
因为，
所以.
故答案为：.
【变式20-2】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，
故选：C.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，正方体中，棱长为，
所以，四面体是棱长为的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，
所以，该球的体积为，
因为正四面体的体积为，
所以，该球与此正四面体的体积之比为.
故选：A
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，设正四面体的棱长为，则，
故．
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为，
故选：A．
【变式21-1】球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为，所以球的半径，
所以球的表面积为：，
故选：C.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点，
球与棱分别切于点，则，球的半径为，
注意到在边长为1的等边三角形中，，，
且底面，底面，所以，
所以，，
所以，而，所以，即，
解得（舍去），
从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为.
故答案为：.
【典例22-2】在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD.
因为平面ABC，所有.
因为平面，平面，，所有平面.
因为平面，所有
.过O作，交PA于点F.
球O的半径为r，则.
由题意：为正三角形，因为，所以，，.
因为，，所以，所以.
设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为．
故答案为：
【变式22-1】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，
球H与棱分别切于，设球H的半径为，
则，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
则这个球的表面积为．
故选：B
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，是的中心，
根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，，
且，，为球的半径．
由勾股定理易得，由正弦定理可求得，
由勾股定理可求得．
∵，均为球的切线，∴，
∵与相似，∴，
即，∴，
∴球的体积为．
故选：B．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为,连接，
则，
所以棱台的高,
设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，
设中点为，连接,
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：C
题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，
设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，
的中点为，连接，，，，，，
则，正四面体的高.
因为，所以，所以，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，所以，
所以小球的体积为.
故选：C
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.
则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.
则易知，，设球的半径分别为.
因为，根据重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，
即，解得，，所以.
由可得，，
即，解得，
所以，球的体积为.
故选：A.
【变式24-1】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半径为.
所以小球的表面积最大值为.
故选：A
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为,底面的中心为，
因为底面边长为，底面的高，所以，
所以三棱锥的体积,求得,
在底面中，
则侧棱长为，
每个侧面的三边长为,则侧面的高，
所以，所以三棱锥的表面积为.
由等积法知，得.
用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥，下部得到一个高为的棱台，
那么截得的小棱锥的高为，即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径，
根据相似关系，截得的棱锥的体积为，表面积为，
根据等体积法，，解得.
故选:D.
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】设直三棱柱高为，因为，
所以斜边，底面三角形外接圆半径，
由题有外接球表面积，可得，所以，
所以三棱柱体积为.
故选：D.
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，设圆台的高为h，则，解得；
四面体的外接球即为圆台的外接球，
设其半径为R，球心为，，
由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，，
球心O在圆台的轴所在直线上，则，
故，解得，故，
故四面体的外接球表面积为.
故选：B.
3．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
设外接圆半径为r，再由正弦定理，
因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R，
所以，
所以外接球表面积为，
故选：C
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】其外接球直径，所以.
故选：B．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在三棱锥中，，，正的边长为1，
则，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，
则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，
而，则四边形是矩形，，
所以球半径，表面积.
故选：B
6．已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设四面体体积是，外接球半径是，表面积是，
棱两两垂直，，
，，
易知，
当且仅当时取等，故有，
则，
故选：A
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
设的外接圆半径为，
则，所以，
平面，且，
设三棱锥外接球半径为，
则，即，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：B．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，取的中点为，连接，
因为，故为等边三角形且，
因为为等边三角形，故，
由余弦定理可得，
故，而为等边的边上的中线，
故，同理，故，
而为三角形内角，故.
设为的中心，为的中心，则在上且在上，
因为、均为等边三角形其它们有公共边，
由对称性可得在平面中，
设为外接球的球心，连接，则平面，平面，
而平面，平面，故，连接，
则由四点共圆可得，
故，所以即外接球半径为，
故棱锥的外接球的体积为.
故选：A
9．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，
故，又，故球的半径，
故球的表面积为．
故选：D．
10．已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，在中，由余弦定理，得，
即，则，故，
又而平面，将三棱锥置于一个长方体中，可知三棱锥的外接球半径，
则外接球表面积，
故选:D．
11．（2024·四川自贡·二模）在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
翻折前，在中，，，为的中点，则，
且，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以，平面，
由已知，则是边长为的等边三角形，
将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，
所以，的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球表面积为.
故选：C.
12．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正方形边长为，底面中心为中点为，
连接，如图所示，
由题意得，且正四棱锥的外接球球心，
设外接球半径为，则，
在中，，且，
所以，解得，即，
在中，，
过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，
所以，
则，
所以，
所以截面的面积.
故选：C
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，
因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.
故选：C.
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】四边形为边长为的正方形，四边形的外接圆半径，
又平面，，四棱锥的外接球半径，
四棱锥的外接球表面积.
故选：D.
15．在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直三棱柱的高为，外接球的半径为，外接圆的半径为，则，所以，又，令，则，易知的最小值为，此时，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为.
故选：A.
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，
等腰梯形中，，，
则有，则四边形为平行四边形，
则，又，则为等边三角形，
则，则△为等边三角形
则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，
△中，，则
又底面，则底面，
又，
即，
故点H为四棱锥的外接球球心，
球半径
则四棱锥外接球表面积为
故选：C
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设上下底面的中心分别为，由对称性可知，
球的球心为的中点，取的中点，连接，
连接并延长，交于，连接，则，
设，则，
，
而，联立两式，解得，则球的半径为，
则其表面积为，故B正确.
故选：B.
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，当球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球的球心为，半径为R，空隙处最大球的球心为，半径为，
为的中心，得平面，为中点，
球和球分别和平面相切于，，
在底面正三角形中，易求，，，
又，
由，即得，又，
，，，
又，可得即，即球的最大半径为.
故选：C.
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为，
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，为正八面体的中心，平面，平面，则，，.
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
.
故选：C.
21．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；
设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，
所以，
故选：B.
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确；
又，所以，
设球心为（即为的重心），所以，，
即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确；
设圆锥的体积为，则，
内切球的体积为，则，所以，故C错误；
设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），
设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，
过点作交于点，则，所以，
即，解得，
所以平面截内切球截面圆的半径，
所以截面圆的面积为，故D正确；
故选：ABD
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为
【答案】ACD
【解析】选项A，如图，设底面圆心为，则，AQ⊥PB，，
因为是边长为2的为等边三角形，则，为中点，
则球的半径球的体积为，故A正确.
选项，作，因为面，，
所以底面，，
，故B错误.
选项C，设，x∈0,2，
..
.，
设，则令，解得，
当时，f'x>0，当x∈0,2时，则，
易知在上单调递减，则在单调递减，且，
则当x∈0,2时，f'x>0， 单调递增；
，故C正确.
选项，当为中点时，，
由，，，得..
设点到平面的距离为，，，，代入数据解得.
截面面积为，故D正确.
故选：ACD.