第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
【答案】A
【解析】经过定点，由于，则定点在圆内.
故直线与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
2．（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【答案】C
【解析】由直线，可得直线过定点0,2，
又由圆：，可得点0,2在圆C上，
因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.
故选：C.
3．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知集合，则中元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】方程，表示圆心为，半径为，
则圆心到直线：的距离为，
得直线与圆相切，只有一个交点，则中元素的个数为1.
故选：B
4．直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】A
【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
题型二：弦长与面积问题
5．（2024·天津·模拟预测）若直线与圆交于两点，则 .
【答案】/
【解析】由题意可得圆的标准方程为，
所以圆的圆心为1,0，半径为，
所以圆心1,0到直线的距离，
所以，
故答案为：
6．（2024·高三·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 .
【答案】5或
【解析】由题意知可化为，
可知圆心坐标为，半径，
根据点到直线的距离公式和弦长关系可得
解之可得或.
故答案为：5或
7．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
【答案】或
【解析】若直线与相交于两点，且，
则圆心到直线的距离，所以，
解得或．
故答案为：或.
8．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 .
【答案】12
【解析】圆：，得圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，因此，
所以.
故答案为：.
9．直线与圆相交于两点，，若满足，则 .
【答案】
【解析】圆圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以
所以．
故答案为：．
题型三：切线问题、切线长问题
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ．
【答案】
【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为3，
点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点．
，，，易得，
所以，
设，，则
故，（当时取等号），
，
，
可知四边形面积的最小值为．
故答案为：
11．从圆外一点向圆引切线，则切线长为 ．
【答案】2
【解析】点到圆心的距离为，则切线长为．
故答案为：2.
12．（2024·高三·四川眉山·期中）圆C的圆心在轴正半轴上，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，直线l：与圆C相切，则直线l的斜率是
【答案】
【解析】设圆C的方程，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
所以圆C的方程，
则圆心C到直线l的距离，
则或（舍去），所以，
故直线l的斜率.
故答案为：.
题型四：切点弦问题
13．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为:
，
化简得：.
故答案为：.
14．（多选题）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【解析】解析：如图，
连接，题意，，而，而，则垂直平分线段，
于是得四边形面积为面积的2倍，
从而得，
即，
设点，而，
则，即，
所以，即，得，
所以的取值范围为．故选BC．
15．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
16．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（ ）
A．1或B．－1或C．或－1D．1或－1
【答案】D
【解析】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动.
圆心到直线的距离，令，则.
①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，
与圆的三个交点是，，，满足题意.
②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意.
综上，.
故选：D.
17．已知圆：（），直线：．若对任意实数，圆上到直线的距离为1的点有4个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线过定点，
不论取何值，到直线最远的距离始终为，
，
解得．
故选：D．
18．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2，因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得.
故选:A.
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
19．已知圆，直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】由直线可得：，即直线经过定点.由可得：，即圆心为，半径为，如图.
连接,过点作的垂线交圆于点，则此时AB取最小值.
(理由如下：过点作另一条直线交圆于点，过点作于点,
在中，显然,而,,
因故有，即AB是最短的弦长)
此时，,.
故答案为：2.
20．（2024·河北邢台·模拟预测）已知直线上一点A，圆上一点B，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】圆，
所以圆心坐标为，半径，
又直线，
所以圆心到直线的距离为
，
所以的最小值为，
故答案为：.
21．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于，当时，，当时，，
所以，
所以，
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值，
点P到直线的距离的最小值，
所以面积的最大值为，
面积的最小值为，
所以面积的取值范围是，
故答案为：
题型七：圆与圆的位置关系
22．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．内切D．相离
【答案】A
【解析】由已知得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
故，
所以圆与圆相交.
故选：A.
23．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，则点P在圆上，
又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)，
两圆半径分别为2、1，
所以，
所以.
故选：A．
24．（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内含D．内切
【答案】C
【解析】圆即圆的圆心半径分别为，
圆的圆心半径分别为，
因为，解得或（舍去），
从而，所以，
因为，
所以圆M与圆的位置关系是内含.
故选：C.
题型八：两圆的公共弦问题
25．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，因此圆相交，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.
故答案为：
26．已知圆和圆交于两点，则 .
【答案】
【解析】将圆和圆的方程作差得.
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：.
27．圆与圆的公共弦所在直线方程为 ；公共弦长为 .
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，即圆相交，
将两圆方程相减得，所以两圆的公共弦所在直线方程为；
点到直线距离，所以公共弦长为.
故答案为：；
题型九：两圆的公切线问题
28．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】圆标准方程为，
则已知两圆圆心分别为，半径分别为，
圆心距为，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
29．两圆与的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为4，
所以圆心距．
又，所以两圆相交，所以公切线只有2条．
故选：B
30．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，
又与的图形关于直线对称，
设上一点，该点关于直线对称的对称点为，
则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为，
所以，解得，即，
代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图，
易知与的公切线，所以，结合图，设，
所以点到直线的距离为，解得，
所以与的公切线为.
故选：B
1．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（ ）
A．1B．0或C．0或1D．
【答案】D
【解析】将化为标准式为：，
故圆心为半径为，且或，
由于与轴相切，故，
解得，或（舍去），
故选：D
2．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线，
令，解得，所以直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
且，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.
故选：A.
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（ ）
A．1B．3C．2D．
【答案】B
【解析】
由题意得⊙C圆心为，半径，，
则，
则四边形的面积.
故选：B.
4．（2024·高三·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．4
【答案】D
【解析】因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则
因为，且，所以，
所以，
当且仅当即等号成立，
则的最小值是4.
故选：D.
5．（2024·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，直线的斜率为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．
故选：B．
6．（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设中点为C，则，
∵，
∴，∴，
∵，即，
又∵直线与圆交于不同的两点，
∴，故，
则，
.
故选：C．
7．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，，，，，为锐角，
当圆的面积取最大值时最大，
而，
所以，
因为点在线段（）上，
所以，
故，即圆半径的最大值为，
所以圆的面积的最大值为，
故选：D．
8．（2024·安徽·模拟预测）已知，为圆：上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（ ）
A．为一条直线B．为椭圆
C．为与圆相交的圆D．为与圆相切的圆
【答案】D
【解析】设Px0,y0，由，可得，
所以点坐标为，
设点坐标为 ，则，即，
把代入圆，则点的轨迹的方程为：，
即是圆心为，半径为1的圆，
由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆相切的圆.
故选：D．
9．（多选题）（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B．的面积最大值为1
C．若原点始终在动弦上，则不是定值
D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD
11．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆上的点到直线距离的最大值为
D．圆上存在两点P，Q，使得
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B，圆与圆交于两点，
因为圆和圆相交，将两圆相减可得：，
即公共弦所在直线的方程为，故B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确；
对于D，直线经过圆的圆心，
所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1
C．直线与圆可能相切
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【解析】由直线，得 ，
因为，则满足 ，解得 ，
所以直线恒过定点 ，故选项A正确.
因为当时，直线为:，
则圆心 到直线的距离为 ，
则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离，
所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误.
因为直线过定点 ，又 ，
所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误.
由圆的方程 可得，，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，
则 ，解得 ，故选项正确.
故选：AD.
13．（2024·陕西·模拟预测）圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆上总存在两个点到的距离为1，
转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交，
可得，即，
解得或，即a的取值范围是.
故答案为：.
14．（2024·山西运城·三模）已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最大时，圆的半径为 .
【答案】
【解析】因为动圆经过点及原点，记的中点为，则圆心在上，
如图：
记圆半径为，，则，，
所以，
当最大时，最小，此时两圆外切.
由已知设动圆的圆心为，
又圆的圆心，半径，
所以，
即，
解得，所以，即圆的半径为，
此时圆为，圆心，.
故答案为：.
15．（2024·黑龙江·三模）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为 .
【答案】[4，6]
【解析】因为点，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，
又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，
依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得.
故答案为：.
16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 .
【答案】
【解析】的圆心为，半径为1，
，圆心为，半径为2，
结合两圆位置可得，，
当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，
设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求，
此时，
故即为的最小值，
故的最小值为
故答案为：
17．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
【答案】
【解析】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为，
过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，，
则点、在以为直径的圆上，
又由，，则以为直径的圆的方程为，
变形可得：，
则有，可得：，
变形可得：，即直线的方程为，
则有，解可得，故直线过定点.
故答案为：.
1．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，取得最小值为，解得.
故选：C.
2．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】B
【解析】化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
5．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
6．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
9．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
10．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
11．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
12．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【解析】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
13．（2020年天津市高考数学试卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
14．（2020年浙江省高考数学试卷）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ．
【答案】
【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176534289" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176534289 \h 2
\l "_Tc176534290" 题型一：直线与圆的位置关系的判断 PAGEREF _Tc176534290 \h 2
\l "_Tc176534291" 题型二：弦长与面积问题 PAGEREF _Tc176534291 \h 3
\l "_Tc176534292" 题型三：切线问题、切线长问题 PAGEREF _Tc176534292 \h 5
\l "_Tc176534293" 题型四：切点弦问题 PAGEREF _Tc176534293 \h 6
\l "_Tc176534294" 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 PAGEREF _Tc176534294 \h 8
\l "_Tc176534295" 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 PAGEREF _Tc176534295 \h 9
\l "_Tc176534296" 题型七：圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176534296 \h 11
\l "_Tc176534297" 题型八：两圆的公共弦问题 PAGEREF _Tc176534297 \h 12
\l "_Tc176534298" 题型九：两圆的公切线问题 PAGEREF _Tc176534298 \h 13
\l "_Tc176534299" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176534299 \h 15
\l "_Tc176534300" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc176534300 \h 25