第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系（八大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176879077" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc176879077 \h 2
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\l "_Tc176879079" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc176879079 \h 4
\l "_Tc176879080" 知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断 PAGEREF _Tc176879080 \h 4
\l "_Tc176879081" 知识点2：弦长公式 PAGEREF _Tc176879081 \h 4
\l "_Tc176879082" 知识点3：点差法 PAGEREF _Tc176879082 \h 5
\l "_Tc176879083" 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 PAGEREF _Tc176879083 \h 6
\l "_Tc176879084" 题型二：求中点弦所在直线方程问题 PAGEREF _Tc176879084 \h 7
\l "_Tc176879085" 题型三：求弦中点的轨迹方程问题 PAGEREF _Tc176879085 \h 7
\l "_Tc176879086" 题型四：利用点差法解决对称问题 PAGEREF _Tc176879086 \h 8
\l "_Tc176879087" 题型五：利用点差法解决斜率之积问题 PAGEREF _Tc176879087 \h 10
\l "_Tc176879088" 题型六：弦长问题 PAGEREF _Tc176879088 \h 11
\l "_Tc176879089" 题型七：三角形面积问题 PAGEREF _Tc176879089 \h 14
\l "_Tc176879090" 题型八：四边形面积问题 PAGEREF _Tc176879090 \h 16
\l "_Tc176879091" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc176879091 \h 19
\l "_Tc176879092" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc176879092 \h 20
\l "_Tc176879093" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc176879093 \h 22
\l "_Tc176879094" 答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长 PAGEREF _Tc176879094 \h 22
知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，则
（1）直线与圆锥曲线相交⇔；
（2）直线与圆锥曲线相切⇔；
（3）直线与圆锥曲线相离⇔.
【诊断自测】3．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
知识点2：弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
【诊断自测】已知椭圆的离心率为e，且过点和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．
知识点3：点差法
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
【诊断自测】以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点的坐标为，求直线的方程；

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
【变式1-1】已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
题型二：求中点弦所在直线方程问题
【典例2-1】若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .
【典例2-2】已知为椭圆内一点，经过作一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 .
【方法技巧】
点差法
【变式2-1】已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是 ．
【变式2-2】过点P(2，2)作抛物线的弦AB，恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是
【变式2-3】抛物线的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是 .
题型三：求弦中点的轨迹方程问题
【典例3-1】已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 .
【典例3-2】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ．
【方法技巧】
点差法
【变式3-1】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
【变式3-2】已知椭圆.
(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
【变式3-3】已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【变式3-4】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
题型四：利用点差法解决对称问题
【典例4-1】已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 .
【典例4-2】已知双曲线C：．
(1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程．
【方法技巧】
点差法
【变式4-1】（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.
(1)求抛物线和直线的方程；
(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.
【变式4-2】已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．
【变式4-3】已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式4-4】双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
题型五：利用点差法解决斜率之积问题
【典例5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
点差法
【变式5-1】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
【变式5-3】抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 .
【变式5-4】已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型六：弦长问题
【典例6-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【典例6-2】（云南省2024届高三9月名校联考数学卷）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 .
【方法技巧】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
【变式6-1】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．
【变式6-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，且，求直线的方程．
【变式6-3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点．
(1)求线段所在的直线方程．
(2)求线段的长．
【变式6-4】已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．
【变式6-5】（2024·四川德阳·二模）已知直线与椭圆相切于点，直线的斜率为，设直线与椭圆分别交于点、(异于点)，与直线交于点.
（1）求直线m的方程：
（2）证明：成等比数列
【变式6-6】（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
(1)求的离心率；
(2)射线与交于点，且，求的周长．
【变式6-7】（2024·陕西宝鸡·二模）已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
题型七：三角形面积问题
【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【典例7-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值.
【方法技巧】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，过直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
【变式7-3】（2024·上海·二模）已知双曲线.
（1）若双曲线的一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若，且的面积为9，求的值.
【变式7-4】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求面积的最小值．
【变式7-5】（2024·河南·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
题型八：四边形面积问题
【典例8-1】已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围．
【典例8-2】已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值.
【方法技巧】
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
【变式8-1】（2024·湖南·三模）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
【变式8-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.
【变式8-3】已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线与轨迹交于两点，若点满足，求四边形面积的最大值．
【变式8-4】已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)求四边形面积的最大值；
【变式8-5】已知点，点B为直线上的动点，过点B作直线的垂线l，且线段的中垂线与l交于点P．
(1)求点P的轨迹的方程；
(2)设与x轴交于点M，直线与交于点G（异于P），求四边形面积的最小值．
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
5．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
6．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
1．已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
2．过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？
3．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．
4．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短．
5．设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q．求证：是和的比例中项．
6．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围.
答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长
1、模板解决思路
首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程。然后，利用韦达定理求出交点横（纵）坐标和。最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长。
2、模板解决步骤
第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程。
第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）。
第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长。
【经典例题1】已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．
【经典例题2】若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
（2）弦长问题
（3）中点弦问题
2024年北京卷第13题，5分
2024年甲卷（理）第20题，12分
2023年I卷第22题，12分
2023年II卷第21题，12分
2023年甲卷（理）第20题，12分
2022年I卷第21题，12分
2022年II卷第21题，12分
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．直线与圆锥曲线综合问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题．多属于解答中的综合问题．近两年难度上有上升的趋势，但更趋于灵活．
复习目标：
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．