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重难点突破01 圆中的范围与最值问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破01 圆中的范围与最值问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破01圆中的范围与最值问题八大题型原卷版docx、重难点突破01圆中的范围与最值问题八大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc176538861" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176538861 \h 2
\l "_Tc176538862" 题型一：斜率型 PAGEREF _Tc176538862 \h 2
\l "_Tc176538863" 题型二：直线型 PAGEREF _Tc176538863 \h 5
\l "_Tc176538864" 题型三：距离型 PAGEREF _Tc176538864 \h 7
\l "_Tc176538865" 题型四：周长面积型 PAGEREF _Tc176538865 \h 10
\l "_Tc176538866" 题型五：数量积型 PAGEREF _Tc176538866 \h 12
\l "_Tc176538867" 题型六：坐标与角度型 PAGEREF _Tc176538867 \h 15
\l "_Tc176538868" 题型七：长度和差型 PAGEREF _Tc176538868 \h 19
\l "_Tc176538869" 题型八：方程中的参数型 PAGEREF _Tc176538869 \h 23
\l "_Tc176538870" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176538870 \h 27
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
【典例1-1】已知实数，满足方程，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方程化为，
表示的图形是一个以为圆心，为半径的半圆，
令，即，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
解得或（负值不满足条件，舍去），
所以的最大值为，
故选：C.
【典例1-2】如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.
如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.
其中圆心，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；
同理，的最小值为－1.
则的范围是.
故选：B.
【变式1-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：D
【变式1-3】已知为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
由于为圆上任意一点，
故可看作圆上任意一点到定点的斜率，
当直线与圆相切时，此时斜率最大，
由于相切时，故，此时斜率,
故的最大值为，
故选：C
题型二：直线型
【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
【典例2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距.如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.
故选：C．
【变式2-1】点在圆上，则的范围是 ．
【答案】
【解析】设，，即，
所以，
因为，所以.
故答案为：
【变式2-2】已知，满足，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，
令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以
故答案为：
【变式2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
【答案】 / /
【解析】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，
则的最大值是．
令，则是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，
此时，圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为．
故答案为：；.
题型三：距离型
【典例3-1】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
【典例3-2】直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1B．3C．4D．2
【答案】B
【解析】由，得，
所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，则在圆内，
则的最大值为，
故选：B
【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．32
【答案】C
【解析】设，
则
，
当时，取得最大值.
故选：C.
【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
【变式3-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
【答案】C
【解析】设与为圆上一点，
则，得，，
即为等腰直角三角形，设为的中点，
则，得，
即点在以为圆心，2为半径的圆上，
故，
因为点到定点D的距离的最大值为，
因此的最大值为36.
故选：C
【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意作出图形如图所示
设，，由∽,可得，
所以，即，即，
所以，
所以，
所以点，
将点的坐标代入直线中，
化简可得（不同时为），
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以的最大值为
故选：B.
题型四：周长面积型
【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A．B．C．1D．－1
【答案】C
【解析】直线的方程可化为
所以直线恒过定点，
因为
所以点在圆内，
由圆的性质可得当时，最小，周长最小，
又，
所以，此时．
故选：C．
【典例4-2】在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为
【答案】
【解析】设点，则
由已知得，
所以，即
故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为．
直线AC的方程为，即
圆心到直线AC的距离
则点到边AC的距离的最小值为，最大值为
又
则面积的最小值为，最大值为，
所以面积的范围为．
故答案为：．
【变式4-1】若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆C的方程为，
所以圆C的半径为，
所以圆C的最小周长为.
故选：D.
【变式4-2】已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A．8B．5C．2D．1
【答案】A
【解析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，
又圆心坐标为，则，
又半径为，则当最大时，，
此时面积也最大，．
故选：A．
题型五：数量积型
【典例5-1】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）
A．7B．12C．14D．16
【答案】C
【解析】
如图，连接，作，，
易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，
故，
故，当反向时等号成立，故C正确.
故选：C
【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，，可得，，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值．
综上所述，当时，有最大值．
故选：D．
【变式5-1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】D
【解析】圆，圆心，半径为3，如图，
为弦的中点，，
共线时等号成立，
.
故选:D.
【变式5-2】在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为，
因为，，所以,，，，
得到，所以，
又因为，所以，
又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号，
所以，
故选：B.
题型六：坐标与角度型
【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图圆，在直线上，
若圆存在点，使得，
当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.
在中，，所以.
所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.
符合条件的点在线段之间.
所以或.
故的取值范围为.
故答案为：
【典例6-2】已知，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在圆上，,
则，
如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.
故选：C
【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
因为，且，
当最小时，则最大，可得最大，即最大，
又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，
此时，所以取得最大值．
故选：C．
【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】设过三点的圆的圆心为，且，
由于，故最大，则最大，
只需要圆与圆相切于点时，最大，
则有或（舍去），，
所以,易知此时四点共线，
此时进而，故，
故选：A.
【变式6-4】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆D：的圆心，半径为，
圆C：的圆心，半径为，
因为圆与圆相外切，所以，所以，
且圆与轴交于，不妨记，
因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，
由对称性不妨令，
当时，则，解得，
故
，
当时，则，解得，
此时，
故，
当时，则，解得，
故
，
综上所述，的最大值为.
故选：B.
题型七：长度和差型
【典例7-1】已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．
，，，记与夹角为
，，所以,，
到直线的距离，
到直线的距离，
即求的最大值．
设点D为的三等分点，且，
则D到直线的距离，
，即求的最大值，
设D到直线距离为
，即求最大值．
由，，可知，
点，在圆上运动，，
故当时，取得最大值，取得最大值，
取得最大值，
故答案为：.
【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（ ）
A．8B．C．D．12
【答案】D
【解析】由圆上两点Ax1,y1，Bx2,y2，
得，
设的中点为，则，
由，得，
所以，
所以点的轨迹是以为半径，为原点的圆，
，
表示两点到直线的距离之和的倍，
因为为的中点，
故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值是.
故选：D.
【变式7-1】设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，，
即，由对称性可知，
对于圆，圆心，半径，，
当且仅当A，C，三点共线时等号成立，
由于，，
则.
故选A．
【变式7-2】在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则 的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，当，，，交换位置可得，故，，又，显然能取到，故，由对勾函数性质可知，当或时，，故，
故选：D
【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆C：的圆心为，半径为2，
直线l的方程可化为，于是l过定点，且，
显然，即，
又，因此，
设，，显然，
则，其中，当时等号成立，此时，
，符合条件，
所以的最大值为．
故选：D
题型八：方程中的参数型
【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 .
【答案】 3
【解析】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，
，
，
圆的方程为，
设点的坐标为，则，
，故的最大值为，
，，
，
，，
，
，
，
故的最大值为3，
故答案为：，3
【典例8-2】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，，
故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设，
则，又，
故，则，其中，
显然当时，取最大值.
故选：D.
【变式8-1】已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点，因为，所以，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为
则面积的最大值为.
故选：.
【变式8-2】已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
【变式8-3】已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接、，则、，所以四边形对角互补，则、、、四点在以为直径的圆上.
设，则该圆的圆心为，半径为，则该圆的方程为
，又该圆和圆的交点弦即为，故直线所在的方程为，整理得，又因为点在直线上，故，即点的轨迹为，又因为的坐标为，因为，所以在圆上运动，故的最小值为到直线的距离减去半径，即，即的最小值为.
故答案为：
1．（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的范围是
【答案】ABD
【解析】因为实数x，y满足方程，
所以，得圆心为，半径为1，
对于AB，设，则两直线与圆有公共点，
所以，
解得，，
所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确，
对于C，因为原点到圆心的距离为，
所以圆上的点到原点的距离，
所以，所以，
所以的最大值为，所以C错误，
对于D， 表示出圆上的点到直线的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即，所以D正确，
故选：ABD
2．（多选题）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．
故选：AC．
3．（多选题）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
【答案】BC
【解析】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC.
4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( )
A．关于轴对称B．的面积的最大值为
C．当时，D．直线的斜率的范围为
【答案】AC
【解析】设，由得， ，
整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆．
由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值，
所以，选项B错误；
因为，所以，所以，
又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确；
当时， ，则为等腰直角三角形， ，选项C正确；
当直线与圆相切时， ，此时，
所以，所以切线的倾斜角为和，
由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误.
故选：AC
5．（多选题）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ）
A．的范围是B．的范围是
C．的最大值为1D．的范围是
【答案】BD
【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得，
，所以，，A错
对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对
对于C，由于，所以，，
故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令，
则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率，
可设过定点的直线为：，
该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为，
可求得，化简得，故，故D对
故选：BD
6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线的最小距离为
B．圆M上点到直线的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D．圆与圆M有公共点，则a的范围是
【答案】AD
【解析】由题意，可得如下示意图：
∵为等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在的中垂线上，由“欧拉线”定义即为“欧拉线”且B、C中点在直线上，而，
∴直线：，而圆M与直线知，
∴圆M：，且直线：
圆心M到直线的距离，圆上点与直线距离范围为，故A正确，B错误；
圆心M到直线BC的距离，故C错误；
圆与圆M有公共点，即，所以，故D正确.
故选：AD
7．（多选题）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．存在点使
D．过点作圆的切线，则切线长为
【答案】AD
【解析】对于A，设，则点到直线的距离，
解得，得的最大值为，故A正确；
对于B，令，
则点到直线的距离，
解得，得的最小值为，故B错误；
对于C，假设存在点使，设Px,y，则
，化简得，
因此满足的点在圆上，此圆圆心为，
半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误；
对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线，
则切线长为，故D正确.
故选：AD.
8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为12B．的最大值为72
C．若，则的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
【答案】ABD
【解析】对于A，设点，由，得，
化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，
所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，，
当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，|OB|=2，有，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（ ）
A．直线与圆相切
B．点到直线的距离小于7
C．当最大时，
D．的最小值小于15°
【答案】BCD
【解析】对于A：圆：的圆心，半径，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，A错误；
对于B：因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；
对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，
此时，C正确；
对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，
由，
又
得，
又，
可得，
又，
因为，
所以，又为锐角，
所以，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
【答案】ACD
【解析】设，依题意有，化简得，
所以动点的轨迹方程为，A选项正确；
方程表示圆心为B4,0半径为2的圆，圆心B4,0到直线的距离，
所以MN的最小值为，B选项错误；
，当三点共线时，有最小值，
最小值为点到直线的距离，C选项正确；
的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确；
故选：ACD
12．（多选题）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（ ）
A．的最小值为B．直线必过定点
C．满足的点有两个D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】圆的圆心为，半径，
则到直线的距离，
则，故A错误；
设，以为直径的圆，
又圆，两圆的方程相减得，即，
由，解得，因此直线过定点，故B正确；
对于直线，令，则，即，
令，则，所以，
则的中点为，，
则以为直径的圆的方程为，又，
则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；
因为，，设，Mx,y，则，
则，即
又，，所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确.
故选：BCD
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
则圆心，半径，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则，易知，
所以，有，，
所以，得，
当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为
，此时，所以；
又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，
所以，即线段AB的长度的取值范围为.
故答案为：
14．已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为
【答案】
【解析】直线，即，
直线过定点，且斜率存在.
直线，即，
直线过定点，直线与轴不平行.
线段的中点为，，
由于，所以，
所以点的轨迹是以线段为直径的圆，
即点的轨迹是圆（除点）.
圆的圆心为，半径为，
设是的中点，连接，则垂直平分，
则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
即点的轨迹是圆，
，即圆（除点）上的点，
与圆上的点的距离，
，
所以，即，
所以.
故答案为：
15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
【答案】
【解析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，.
设，因为，所以，
整理得，即.
.
又，
则，则.
故答案为：
16．（2024·江西宜春·一模）已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 .
【答案】
【解析】设，则，
，即，
在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点，
所以，解得．
故答案为：．
17．已知若圆上存在点P，使得，则m的范围 ．
【答案】
【解析】设点，由得：，整理得：，
于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆的圆心，半径为2，
显然圆O与圆C有公共点P，因此有，而，解得，
所以m的范围是.
故答案为：
18．（2024·上海·一模）已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的范围是 ．
【答案】
【解析】设，
，
， ，
，即，
，所以 .
因为的轨迹是以为圆心，为半径的圆
所以的取值范围为，即
则的范围是
故答案为：
19．已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是 ．
【答案】
【解析】，使得和的面积均为，只需到直线 的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，
当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；
若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；
当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则.
20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以点在圆上，其中圆心为，半径为，
又，其中表示点与点连线的斜率，
又，所以点在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，
即，则，解得或，
即的最大值为，最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：
21．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为圆化为标准方程为；
圆心，半径，
圆化为标准方程为；
圆心，半径，
可得，；
则面积；
当，即时，
的面积最大，其最大值为．
故答案为：
22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,y1，
则，整理得，，
又，所以，则，
解得，所以，使得，
要使最小，则最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.
故的最小值为点B到直线的距离.
故答案为：
23．已知满足，则函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，
得
，
表示两点之间的距离，
表示两点之间的距离，
则，
设，使得，
由阿氏圆性质知，
则，
当且仅当三点共线，且在线段上时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
\l "_Tc176538861" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176538861 \h 2
\l "_Tc176538862" 题型一：斜率型 PAGEREF _Tc176538862 \h 2
\l "_Tc176538863" 题型二：直线型 PAGEREF _Tc176538863 \h 5
\l "_Tc176538864" 题型三：距离型 PAGEREF _Tc176538864 \h 7
\l "_Tc176538865" 题型四：周长面积型 PAGEREF _Tc176538865 \h 10
\l "_Tc176538866" 题型五：数量积型 PAGEREF _Tc176538866 \h 12
\l "_Tc176538867" 题型六：坐标与角度型 PAGEREF _Tc176538867 \h 15
\l "_Tc176538868" 题型七：长度和差型 PAGEREF _Tc176538868 \h 19
\l "_Tc176538869" 题型八：方程中的参数型 PAGEREF _Tc176538869 \h 23
\l "_Tc176538870" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176538870 \h 27
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
【典例1-1】已知实数，满足方程，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方程化为，
表示的图形是一个以为圆心，为半径的半圆，
令，即，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
解得或（负值不满足条件，舍去），
所以的最大值为，
故选：C.
【典例1-2】如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.
如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.
其中圆心，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；
同理，的最小值为－1.
则的范围是.
故选：B.
【变式1-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：D
【变式1-3】已知为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
由于为圆上任意一点，
故可看作圆上任意一点到定点的斜率，
当直线与圆相切时，此时斜率最大，
由于相切时，故，此时斜率,
故的最大值为，
故选：C
题型二：直线型
【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
【典例2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距.如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.
故选：C．
【变式2-1】点在圆上，则的范围是 ．
【答案】
【解析】设，，即，
所以，
因为，所以.
故答案为：
【变式2-2】已知，满足，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，
令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以
故答案为：
【变式2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
【答案】 / /
【解析】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，
则的最大值是．
令，则是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，
此时，圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为．
故答案为：；.
题型三：距离型
【典例3-1】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
【典例3-2】直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1B．3C．4D．2
【答案】B
【解析】由，得，
所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，则在圆内，
则的最大值为，
故选：B
【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．32
【答案】C
【解析】设，
则
，
当时，取得最大值.
故选：C.
【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
【变式3-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
【答案】C
【解析】设与为圆上一点，
则，得，，
即为等腰直角三角形，设为的中点，
则，得，
即点在以为圆心，2为半径的圆上，
故，
因为点到定点D的距离的最大值为，
因此的最大值为36.
故选：C
【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意作出图形如图所示
设，，由∽,可得，
所以，即，即，
所以，
所以，
所以点，
将点的坐标代入直线中，
化简可得（不同时为），
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以的最大值为
故选：B.
题型四：周长面积型
【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A．B．C．1D．－1
【答案】C
【解析】直线的方程可化为
所以直线恒过定点，
因为
所以点在圆内，
由圆的性质可得当时，最小，周长最小，
又，
所以，此时．
故选：C．
【典例4-2】在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为
【答案】
【解析】设点，则
由已知得，
所以，即
故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为．
直线AC的方程为，即
圆心到直线AC的距离
则点到边AC的距离的最小值为，最大值为
又
则面积的最小值为，最大值为，
所以面积的范围为．
故答案为：．
【变式4-1】若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆C的方程为，
所以圆C的半径为，
所以圆C的最小周长为.
故选：D.
【变式4-2】已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A．8B．5C．2D．1
【答案】A
【解析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，
又圆心坐标为，则，
又半径为，则当最大时，，
此时面积也最大，．
故选：A．
题型五：数量积型
【典例5-1】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）
A．7B．12C．14D．16
【答案】C
【解析】
如图，连接，作，，
易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，
故，
故，当反向时等号成立，故C正确.
故选：C
【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，，可得，，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值．
综上所述，当时，有最大值．
故选：D．
【变式5-1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】D
【解析】圆，圆心，半径为3，如图，
为弦的中点，，
共线时等号成立，
.
故选:D.
【变式5-2】在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为，
因为，，所以,，，，
得到，所以，
又因为，所以，
又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号，
所以，
故选：B.
题型六：坐标与角度型
【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图圆，在直线上，
若圆存在点，使得，
当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.
在中，，所以.
所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.
符合条件的点在线段之间.
所以或.
故的取值范围为.
故答案为：
【典例6-2】已知，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在圆上，,
则，
如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.
故选：C
【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
因为，且，
当最小时，则最大，可得最大，即最大，
又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，
此时，所以取得最大值．
故选：C．
【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】设过三点的圆的圆心为，且，
由于，故最大，则最大，
只需要圆与圆相切于点时，最大，
则有或（舍去），，
所以,易知此时四点共线，
此时进而，故，
故选：A.
【变式6-4】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆D：的圆心，半径为，
圆C：的圆心，半径为，
因为圆与圆相外切，所以，所以，
且圆与轴交于，不妨记，
因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，
由对称性不妨令，
当时，则，解得，
故
，
当时，则，解得，
此时，
故，
当时，则，解得，
故
，
综上所述，的最大值为.
故选：B.
题型七：长度和差型
【典例7-1】已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．
，，，记与夹角为
，，所以,，
到直线的距离，
到直线的距离，
即求的最大值．
设点D为的三等分点，且，
则D到直线的距离，
，即求的最大值，
设D到直线距离为
，即求最大值．
由，，可知，
点，在圆上运动，，
故当时，取得最大值，取得最大值，
取得最大值，
故答案为：.
【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（ ）
A．8B．C．D．12
【答案】D
【解析】由圆上两点Ax1,y1，Bx2,y2，
得，
设的中点为，则，
由，得，
所以，
所以点的轨迹是以为半径，为原点的圆，
，
表示两点到直线的距离之和的倍，
因为为的中点，
故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值是.
故选：D.
【变式7-1】设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，，
即，由对称性可知，
对于圆，圆心，半径，，
当且仅当A，C，三点共线时等号成立，
由于，，
则.
故选A．
【变式7-2】在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则 的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，当，，，交换位置可得，故，，又，显然能取到，故，由对勾函数性质可知，当或时，，故，
故选：D
【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆C：的圆心为，半径为2，
直线l的方程可化为，于是l过定点，且，
显然，即，
又，因此，
设，，显然，
则，其中，当时等号成立，此时，
，符合条件，
所以的最大值为．
故选：D
题型八：方程中的参数型
【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 .
【答案】 3
【解析】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，
，
，
圆的方程为，
设点的坐标为，则，
，故的最大值为，
，，
，
，，
，
，
，
故的最大值为3，
故答案为：，3
【典例8-2】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，，
故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设，
则，又，
故，则，其中，
显然当时，取最大值.
故选：D.
【变式8-1】已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点，因为，所以，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为
则面积的最大值为.
故选：.
【变式8-2】已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
【变式8-3】已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接、，则、，所以四边形对角互补，则、、、四点在以为直径的圆上.
设，则该圆的圆心为，半径为，则该圆的方程为
，又该圆和圆的交点弦即为，故直线所在的方程为，整理得，又因为点在直线上，故，即点的轨迹为，又因为的坐标为，因为，所以在圆上运动，故的最小值为到直线的距离减去半径，即，即的最小值为.
故答案为：
1．（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的范围是
【答案】ABD
【解析】因为实数x，y满足方程，
所以，得圆心为，半径为1，
对于AB，设，则两直线与圆有公共点，
所以，
解得，，
所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确，
对于C，因为原点到圆心的距离为，
所以圆上的点到原点的距离，
所以，所以，
所以的最大值为，所以C错误，
对于D， 表示出圆上的点到直线的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即，所以D正确，
故选：ABD
2．（多选题）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．
故选：AC．
3．（多选题）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
【答案】BC
【解析】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC.
4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( )
A．关于轴对称B．的面积的最大值为
C．当时，D．直线的斜率的范围为
【答案】AC
【解析】设，由得， ，
整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆．
由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值，
所以，选项B错误；
因为，所以，所以，
又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确；
当时， ，则为等腰直角三角形， ，选项C正确；
当直线与圆相切时， ，此时，
所以，所以切线的倾斜角为和，
由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误.
故选：AC
5．（多选题）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ）
A．的范围是B．的范围是
C．的最大值为1D．的范围是
【答案】BD
【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得，
，所以，，A错
对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对
对于C，由于，所以，，
故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令，
则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率，
可设过定点的直线为：，
该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为，
可求得，化简得，故，故D对
故选：BD
6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线的最小距离为
B．圆M上点到直线的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D．圆与圆M有公共点，则a的范围是
【答案】AD
【解析】由题意，可得如下示意图：
∵为等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在的中垂线上，由“欧拉线”定义即为“欧拉线”且B、C中点在直线上，而，
∴直线：，而圆M与直线知，
∴圆M：，且直线：
圆心M到直线的距离，圆上点与直线距离范围为，故A正确，B错误；
圆心M到直线BC的距离，故C错误；
圆与圆M有公共点，即，所以，故D正确.
故选：AD
7．（多选题）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．存在点使
D．过点作圆的切线，则切线长为
【答案】AD
【解析】对于A，设，则点到直线的距离，
解得，得的最大值为，故A正确；
对于B，令，
则点到直线的距离，
解得，得的最小值为，故B错误；
对于C，假设存在点使，设Px,y，则
，化简得，
因此满足的点在圆上，此圆圆心为，
半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误；
对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线，
则切线长为，故D正确.
故选：AD.
8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为12B．的最大值为72
C．若，则的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
【答案】ABD
【解析】对于A，设点，由，得，
化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，
所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，，
当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，|OB|=2，有，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（ ）
A．直线与圆相切
B．点到直线的距离小于7
C．当最大时，
D．的最小值小于15°
【答案】BCD
【解析】对于A：圆：的圆心，半径，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，A错误；
对于B：因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；
对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，
此时，C正确；
对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，
由，
又
得，
又，
可得，
又，
因为，
所以，又为锐角，
所以，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
【答案】ACD
【解析】设，依题意有，化简得，
所以动点的轨迹方程为，A选项正确；
方程表示圆心为B4,0半径为2的圆，圆心B4,0到直线的距离，
所以MN的最小值为，B选项错误；
，当三点共线时，有最小值，
最小值为点到直线的距离，C选项正确；
的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确；
故选：ACD
12．（多选题）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（ ）
A．的最小值为B．直线必过定点
C．满足的点有两个D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】圆的圆心为，半径，
则到直线的距离，
则，故A错误；
设，以为直径的圆，
又圆，两圆的方程相减得，即，
由，解得，因此直线过定点，故B正确；
对于直线，令，则，即，
令，则，所以，
则的中点为，，
则以为直径的圆的方程为，又，
则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；
因为，，设，Mx,y，则，
则，即
又，，所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确.
故选：BCD
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
则圆心，半径，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则，易知，
所以，有，，
所以，得，
当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为
，此时，所以；
又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，
所以，即线段AB的长度的取值范围为.
故答案为：
14．已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为
【答案】
【解析】直线，即，
直线过定点，且斜率存在.
直线，即，
直线过定点，直线与轴不平行.
线段的中点为，，
由于，所以，
所以点的轨迹是以线段为直径的圆，
即点的轨迹是圆（除点）.
圆的圆心为，半径为，
设是的中点，连接，则垂直平分，
则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
即点的轨迹是圆，
，即圆（除点）上的点，
与圆上的点的距离，
，
所以，即，
所以.
故答案为：
15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
【答案】
【解析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，.
设，因为，所以，
整理得，即.
.
又，
则，则.
故答案为：
16．（2024·江西宜春·一模）已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 .
【答案】
【解析】设，则，
，即，
在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点，
所以，解得．
故答案为：．
17．已知若圆上存在点P，使得，则m的范围 ．
【答案】
【解析】设点，由得：，整理得：，
于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆的圆心，半径为2，
显然圆O与圆C有公共点P，因此有，而，解得，
所以m的范围是.
故答案为：
18．（2024·上海·一模）已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的范围是 ．
【答案】
【解析】设，
，
， ，
，即，
，所以 .
因为的轨迹是以为圆心，为半径的圆
所以的取值范围为，即
则的范围是
故答案为：
19．已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是 ．
【答案】
【解析】，使得和的面积均为，只需到直线 的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，
当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；
若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；
当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则.
20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以点在圆上，其中圆心为，半径为，
又，其中表示点与点连线的斜率，
又，所以点在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，
即，则，解得或，
即的最大值为，最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：
21．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为圆化为标准方程为；
圆心，半径，
圆化为标准方程为；
圆心，半径，
可得，；
则面积；
当，即时，
的面积最大，其最大值为．
故答案为：
22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,y1，
则，整理得，，
又，所以，则，
解得，所以，使得，
要使最小，则最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.
故的最小值为点B到直线的距离.
故答案为：
23．已知满足，则函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，
得
，
表示两点之间的距离，
表示两点之间的距离，
则，
设，使得，
由阿氏圆性质知，
则，
当且仅当三点共线，且在线段上时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
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