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重难点突破03 直线与圆的综合应用（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破03 直线与圆的综合应用（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破03直线与圆的综合应用八大题型原卷版docx、重难点突破03直线与圆的综合应用八大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc176543637" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176543637 \h 2
\l "_Tc176543638" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176543638 \h 2
\l "_Tc176543639" 题型一：距离的创新定义 PAGEREF _Tc176543639 \h 2
\l "_Tc176543640" 题型二：切比雪夫距离 PAGEREF _Tc176543640 \h 3
\l "_Tc176543641" 题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 PAGEREF _Tc176543641 \h 4
\l "_Tc176543642" 题型四：闵氏距离问题 PAGEREF _Tc176543642 \h 5
\l "_Tc176543643" 题型五：圆的包络线问题 PAGEREF _Tc176543643 \h 6
\l "_Tc176543644" 题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 PAGEREF _Tc176543644 \h 7
\l "_Tc176543645" 题型七：圆中的垂直问题 PAGEREF _Tc176543645 \h 8
\l "_Tc176543646" 题型八：圆的存在性问题 PAGEREF _Tc176543646 \h 9
\l "_Tc176543647" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176543647 \h 9
直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A．B．C．D．
，
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为
【变式1-3】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.请你写出到两条线段，距离相等的点的集合，，，其中，，，，，是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① ，，，；② ，，，．你选择第 种情形，到两条线段，距离相等的点的集合 .
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，的最小值为
题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【典例5-2】（多选题）设有一组圆.下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【变式5-2】（多选题）已知圆：，直线：，下面命题中正确的是（ ）
A．对任意实数与，直线和圆有公共点；
B．对任意实数与，直线与圆都相离；
C．存在实数与，直线和圆相交；
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．点都在曲线内部
C．当三点不共线时，则
D．若，则的最小值为
【变式5-4】圆的反演点：已知圆的半径是，从圆心出发任作一条射线，在射线上任取两点，若，则互为关于圆的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点的反演点；若点在圆内，则连接，过点作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为的反演点.已知圆，点，则的反演点的坐标为 .
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 .
【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【变式5-7】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是 .
【变式5-8】如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 .
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 ．
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则的最大值为 ．
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为
【变式5-12】过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为 .
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 .
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为 .
【变式6-1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：上存在一点M，使得，则实数a的取值范围为 .
1．定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是5
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则.
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）､（2）､（3）B．（1）､（3）､（4）
C．（2）､（3）､（4）D．（1）､（2）､（4）
7．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
11．设直线系M：，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0B．1C．2D．3
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3B．4C．5D．6
13．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3） （4）D．（1）（2）
14．设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
15．设有一组圆：．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．③④
16．已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
17．已知直线l：与圆相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且，，则的面积为
A．B．3
C．D．2
20．（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A．B．C．D．
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
22．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
（1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
（3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
23．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
25．（2024·四川凉山·三模）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于 .
\l "_Tc176543637" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176543637 \h 2
\l "_Tc176543638" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176543638 \h 2
\l "_Tc176543639" 题型一：距离的创新定义 PAGEREF _Tc176543639 \h 2
\l "_Tc176543640" 题型二：切比雪夫距离 PAGEREF _Tc176543640 \h 3
\l "_Tc176543641" 题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 PAGEREF _Tc176543641 \h 4
\l "_Tc176543642" 题型四：闵氏距离问题 PAGEREF _Tc176543642 \h 5
\l "_Tc176543643" 题型五：圆的包络线问题 PAGEREF _Tc176543643 \h 6
\l "_Tc176543644" 题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 PAGEREF _Tc176543644 \h 7
\l "_Tc176543645" 题型七：圆中的垂直问题 PAGEREF _Tc176543645 \h 8
\l "_Tc176543646" 题型八：圆的存在性问题 PAGEREF _Tc176543646 \h 9
\l "_Tc176543647" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176543647 \h 9
直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A．B．C．D．
，
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为
【变式1-3】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.请你写出到两条线段，距离相等的点的集合，，，其中，，，，，是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① ，，，；② ，，，．你选择第 种情形，到两条线段，距离相等的点的集合 .
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，的最小值为
题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【典例5-2】（多选题）设有一组圆.下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【变式5-2】（多选题）已知圆：，直线：，下面命题中正确的是（ ）
A．对任意实数与，直线和圆有公共点；
B．对任意实数与，直线与圆都相离；
C．存在实数与，直线和圆相交；
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．点都在曲线内部
C．当三点不共线时，则
D．若，则的最小值为
【变式5-4】圆的反演点：已知圆的半径是，从圆心出发任作一条射线，在射线上任取两点，若，则互为关于圆的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点的反演点；若点在圆内，则连接，过点作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为的反演点.已知圆，点，则的反演点的坐标为 .
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 .
【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【变式5-7】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是 .
【变式5-8】如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 .
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 ．
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则的最大值为 ．
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为
【变式5-12】过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为 .
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 .
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为 .
【变式6-1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：上存在一点M，使得，则实数a的取值范围为 .
1．定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是5
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则.
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）､（2）､（3）B．（1）､（3）､（4）
C．（2）､（3）､（4）D．（1）､（2）､（4）
7．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
11．设直线系M：，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0B．1C．2D．3
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3B．4C．5D．6
13．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3） （4）D．（1）（2）
14．设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
15．设有一组圆：．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．③④
16．已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
17．已知直线l：与圆相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且，，则的面积为
A．B．3
C．D．2
20．（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A．B．C．D．
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
22．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
（1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
（3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
23．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
25．（2024·四川凉山·三模）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于 .
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