重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176556392" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176556392 \h 2
\l "_Tc176556393" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176556393 \h 2
\l "_Tc176556394" 题型一：弦长问题 PAGEREF _Tc176556394 \h 2
\l "_Tc176556395" 题型二：长度和问题 PAGEREF _Tc176556395 \h 3
\l "_Tc176556396" 题型三：长度差问题 PAGEREF _Tc176556396 \h 5
\l "_Tc176556397" 题型四：长度商问题 PAGEREF _Tc176556397 \h 6
\l "_Tc176556398" 题型五：长度积问题 PAGEREF _Tc176556398 \h 7
\l "_Tc176556399" 题型六：长度的范围与最值问题 PAGEREF _Tc176556399 \h 8
\l "_Tc176556400" 题型七：长度的定值问题 PAGEREF _Tc176556400 \h 10
\l "_Tc176556401" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176556401 \h 13
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
题型一：弦长问题
【典例1-1】已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 .
【典例1-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【变式1-2】已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【变式1-3】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，直线过点且与轨迹交于､两点，且，求直线的方程.
题型二：长度和问题
【典例2-1】已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知的内角的对边分别为，面积为，且.
(1)证明：为等边三角形；
(2)设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
【变式2-2】（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
题型三：长度差问题
【典例3-1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【典例3-2】已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式3-1】已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
题型四：长度商问题
【典例4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·高三·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.
【变式4-1】抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【变式4-3】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
题型五：长度积问题
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆的右顶点为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标.
【典例5-2】已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
【变式5-1】（2024·高三·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
【变式5-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．
【变式5-3】已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
题型六：长度的范围与最值问题
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.
【典例6-2】（2024·高三·广东·开学考试）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设是四边形内部的100个不同的点，线段，与轴分别交于，，记，其中，证明：，中至少有一个小于．
【变式6-1】（2024·高三·浙江·开学考试）在直角坐标系中，过椭圆的右焦点的直线与截得的线段长的取值范围是.
(1)求的方程；
(2)已知曲线的切线被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求与截得的线段长；
（ii）求与截得的线段长的取值范围.
【变式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交轴于，且在靠近原点的一侧，过点作轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围.
【变式6-3】（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
题型七：长度的定值问题
【典例7-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
【典例7-2】已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为1，求的值.
【变式7-1】（2024·高三·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.
【变式7-2】已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值．
【变式7-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
【变式7-4】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设为坐标原点，若三点不共线，且的斜率满足，求证：为定值.
1．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
4．已知椭圆：的离心率为， 点，在椭圆上运动. 当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)延长到， 使得，且与椭圆交于点， 若直线，的斜率之积为， 求的值.
5．在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线x=−1的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．
7．（2024·高三·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．
8．（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
9．若点为双曲线上一点，，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.
(1)求双曲线的方程．
(2)若四点共圆.
①求的值；
②若，求直线的斜率.
10．已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证：为定值；
（ii）设面积为S，求S的取值范围．
11．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.
(1)求的方程；
(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.