重难点突破13 切线与切点弦问题（五大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176639406" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176639406 \h 3
\l "_Tc176639407" 题型一：切线问题 PAGEREF _Tc176639407 \h 3
\l "_Tc176639408" 题型二：切点弦过定点问题 PAGEREF _Tc176639408 \h 10
\l "_Tc176639409" 题型三：利用切点弦结论解决定值问题 PAGEREF _Tc176639409 \h 17
\l "_Tc176639410" 题型四：利用切点弦结论解决最值问题 PAGEREF _Tc176639410 \h 25
\l "_Tc176639411" 题型五：利用切点弦结论解决范围问题 PAGEREF _Tc176639411 \h 32
\l "_Tc176639412" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176639412 \h 38
1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．
14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
题型一：切线问题
【典例1-1】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．
(1)求的标准方程；
(2)（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点的直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．
【解析】（1）如图所示，
设，则，
不妨设直线的方程为，则直线的方程．
令，得，，
则．
设的内切圆（圆心为）分别与，，切于点，，，
则，
所以为的顶点，所以轴，的横坐标为，所以，
故的标准方程为；
（2）（ⅰ）由，得，
结合，得，所以．
所以直线与相切．
（ⅱ）由题易得直线的斜率不为，
设直线的方程为，代入，
得，其中，
设，，则，，，
则，，
由（ⅰ），在点，处的切线方程分别为，．
两式联立，得，
，即，
所以，
故，，三点共线.
【典例1-2】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线.
【解析】（1）由已知，，则
所以直线 ，即 ，
该直线与圆 与相切，则，
所以解得，，
故椭圆的标准方程为
（2）① 由(1)得椭圆的方程是 .
因为在椭圆上，所以，即，
由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，
当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线，
当时，极线方程为，即，
由，得，
所以，
所以处的极线就是过点的切线，
综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 设点，
由①可知，过点的切线方程为，
过点的切线方程为，
因为都过点，所以有，
则割线的方程为，
同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即，
又因为割线过点，代入割线方程得，即 ，
所以三点共线，都在直线上．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：曲线在点处的切线与平行；
(3)若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
【解析】（1）设点,由；
（2）∵点在抛物线上，
∴，求导得，
在点的切线方程为，即，
②-①得，即，∴，则，
令方程为，代入得：，
点坐标为，以点为切点的切线斜率为，故曲线在处的切线与平行；
（3）若存在两点关于直线对称，则，
令中点，令方程为，由于在直线上，故有，
根据（2）结论可知，即，
故，
将直线与抛物线联立得：
或．
【变式1-2】已知抛物线，焦点为.过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点.
(1)求的值；
(2)证明：
①是与的等比中项；
②平分.
【解析】（1）抛物线焦点，设点，
设抛物线的切线的方程分别为：
由整理得，，
由，
可得，同理，
则抛物线的切线的方程分别为：
则，，
则，
（2）①由（1）可得
，，
则，
，
则，故是与的等比中项；
②
，
则,又，则
故平分.
【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当的斜率为时，求；
(2)证明：．
【解析】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，当l的斜率为时，l的方程为，
由，得，设，，则，
所以.
（2）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y得，由（1），，
，，对求导，得，
切线的方程为，切线的方程为，
由，解得，即，
当时，，显然；当时，直线的斜率为，因此，
所以.
题型二：切点弦过定点问题
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：.
(1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.
(2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.
(3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
【解析】（1）由：可知，，
由，
故，
当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立，
此时且点在直线上，
即有，即，则，
即；
（2）设Px1,y1，Qx2,y2，，
由，则，
整理得，
则有，整理得，
同理可得，有，
即点、均在直线上，
即有，
即，则有，解得，
故直线经过定点，且该定点为；
（3）将绕原点顺时针旋转90°得到，
则点为抛物线焦点，
由，、均三点共线，
故、都经过，
设，Qx2,y2，不妨设，
设，则，由，得，
故，，，，
所以，由，则同理可得．
若，则，直线过点，
若，则，直线过点．
综上，直线过定点．
【典例2-2】已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.
【解析】（1）因为，
所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线，
所以实半轴长，半焦距，虚半轴长，
所以曲线的方程为.
（2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为，
由题意知且，由得，
因为与相切，
所以，且，整理得.
此时可得，即.
同理.
由得.
直线的斜率为，
所以的方程为，
令，得，
即经过定点.
【变式2-1】（2024·青海海西·模拟预测）过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．
(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(2)在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．
【解析】（1）设的坐标分别为，点的坐标为，
由有，可得直线的方程分别为，
又由，直线的方程可化为，
同理直线的方程为，
又由点在直线上，有，
可得点都在直线上，整理为，
又由满足方程，故直线过定点，定点的坐标为；
（2）直线的方程可化为，
联立方程消去后整理为，
可得，
有
，
在直线的方程中，令，有，
可得，可得点的坐标为，
同理可得点的坐标为．
有，
有．
当时，令，有，
①当时，（当且仅当时取等号），
有；
②当时，（当且仅当时取等号），
有，有，有，可得．
由上知的最大值为．
【变式2-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为，
(1)当点坐标为时，求直线的方程；
(2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点；
(3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设，已知椭圆为，
由椭圆的切线方程，切线的方程为，
又点在该直线上，所以，
切线的方程为，
又点在该直线上，所以，
则点，都在直线上，即直线的方程是，
当点坐标为时，，
所以直线的方程是，即.
（2）由（1）知直线的方程是，
又点在直线上，所以，
得，代入的方程得，
即，所以，
解得，直线恒过定点.
（3）因为直线的方程是，所以，
代入得，
整理得，
因为的重心为，所以，，
所以，得，
解得，则，此时轴，成立，
所以点存在，坐标为.
【变式2-3】已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由.
【解析】将代入可得，解得，故，
设，，
∵，∴，∴：
∵在直线上，∴，
整理有：，同理
∴，为的两根，∴，
，
∵，又的中点
∴即，
∴过定点0,2
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线y2=2pxp>0的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
(1)求．
(2)若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．
(3)若均不与坐标原点重合，证明：
【解析】（1）由题可知点均在该抛物线上，故设，，
由题意得当时，，
故，所以．
（2）由（1）得该抛物线的方程为，所以F1,0，准线为．
因为直线过点，所以与共线，
由题可知点在该抛物线上，故设，
则，，
所以，
因为，所以．
由题意知直线的斜率均存在且均不为，
易知直线的方程为，即，
令得，同理可得，
所以，
因为，所以，
所以为定值．
（3）由题意知抛物线在三点处的切线的斜率都存在且不为．
设抛物线在点处的切线方程为，
与联立，消去并整理得，
由，解得．
所以抛物线在点处的切线方程为．
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为．
由，解得，所以，
同理可得，，
又，，，
所以．
由两点间的距离公式得，
同理可得，，
所以
，
所以．
【典例3-2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以，
故抛物线E的标准方程为.
（2）易知抛物线E的焦点，
设直线AB的方程为，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立可得，
由韦达定理可得，，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为，
联立可得，即，即，
所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为，
同理可知，直线BD的方程为，
在直线AC的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，所以，直线的方程为，即，
设点、，联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故为定值.
【变式3-1】已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率．
(1)若，求的渐近线方程；
(2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，，所以，
又，解得，故双曲线的渐近线方程为，
（2）设两个切点，，由题意知，斜率存在，
下证切线的方程为，
联立，得，
因为，即，则上式可化为，
所以，
直线的方程为：，
所以切线：，同理切线方程为：，
由，过点可得，可得直线的方程为，
联立，解得；
联立，解得；
不妨设直线与双曲线两渐近线交于两点为，，
则围成三角形的面积
因P在双曲线上，，则为定值．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的方程为，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
【解析】（1）因为，
若使平移后的抛物线顶点与坐标原点重合，
只需把该抛物线上所有的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，则．
设，互不相等，
因为，则直线，即，
同理，直线，
联立方程组，解得，所以，
同理得，
则，，
则
，
同理得，，
则
，
所以，则，
所以为定值．
【变式3-3】已知圆有以下性质：①过圆上一点的圆的切线方程是．②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为；③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段．
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）；
(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；
(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与两点，求证:为定值，且平分线段．
【解析】（1）过椭圆上一点的切线方程为．
（2）过椭圆外一点作两直线，
与椭圆相切于两点，设Ax1,y1,Bx2,y2，
由（1）的结论可得处的切线方程为，处的切线方程为，
又两切线都过，可得，
由过两点确定一条直线可得，过的直线方程为．
（3）由（2）可得过的直线方程为，
可得，则；
由都在椭圆上，
可得，
相减可得，
设的中点为，可得，
则，又，
则得，
则过的中点，即平分线段．
题型四：利用切点弦结论解决最值问题
【典例4-1】如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足.
(1)求证：直线过定点；
(2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值.
【解析】（1）证明：设直线的方程为，，，
与抛物线方程联立
得，，
，，
，所以，
而，
代入得：，解得：或（舍去），
直线的方程为，必过定点0,4.
（2）由抛物线的方程为,得:，所以,
:,:,
联立方程
由（1）知:,.
解得，即.
点到直线的距离,
,
所以,
因,所以,
故当时,的面积取得最小值32.
【典例4-2】（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
【解析】（1）设，易知直线，则，因为三点共线，
则；
（2）设，过的直线为
与联立得，则，
又，同理，
故；
（3）设，因为，所以，
所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：，
整理得，和，
代入上述方程，得，，因此直线的方程为，
由，整理得，
易知，所以，，
所以
，
点到直线的距离为，
，
当且仅当时，取得最小值4．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．
(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
【解析】（1）证明：由题意知F0,1，所以，所以抛物线，
设Ax1,y1，Bx2,y2，由条件可设直线方程，
联立，得，
则，，
由，得，因为，，
所以，解得或，
因为是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，所以，
所以，又，所以，
所以直线方程，
所以直线恒过一定点，且定点坐标为；
（2）（ⅰ）由小问（1）可知直线方程，，，
设轴上的定点，由，
得为的角平分线，即直线与直线关于轴对称，
则，即，
所以，化简可得，
因为位于轴两侧不对称，所以，所以，
因为，所以，
所以点坐标为.
（ⅱ）设，，，，，
对求导得，，
则抛物线在的切线方程为，
同理抛物线在的切线方程为，
又切线过，所以，，
所以直线的方程为，即，
整理得，所以直线过定点，
点到的距离，
联立方程，得，
，，，
所以弦长，
所以的面积，
所以当时，即时，
的面积的最小值为.
【变式4-2】已知椭圆的离心率为，且过点．抛物线的焦点坐标为．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，直线交椭圆于两点．
①求证直线过定点，并求出该定点坐标；
②当的面积取最大值时，求直线的方程．
【解析】（1）由于椭圆的离心率，即，得，
所以设椭圆方程为，
因为椭圆过点，所以，得，
所以椭圆方程为，
因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线方程为；
（2）①证明：由，得，则，
设，且满足，
设，则切线的斜率为，
所以直线为，
因为，所以切线为，
同理可得切线的方程为，
因为切线同时过点，
所以，
所以可得直线的方程为，
因为，所以，
即，
由，得，
所以直线恒过定点
②作仿射变换
则过定点，过作轴于，于，
设与轴交于，令为，则
由，得，
所以，
因为，
所以
因为，
所以
，当且仅当时取等号，
此时，所以，
所以，化简得，
解各或，
∴或，
或．
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：；
(2)求的面积的取值范围.
（参考结论：点是椭圆外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则直线AB的方程为.）
【解析】（1）
证明：设点．
①当直线的斜率都存在时，
设过点与椭圆相切的直线方程为．
联立，消去得．
．
令，整理得：．
设直线的斜率分别为．
∴．又．
∴．
∴，即为圆的直径，
∴．
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为．
∴点，点，也满足．
综上，有．
（2）设点，点Bx2,y2．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
联立，消去得，
．
令，整理得．
则．
∴直线的方程为．
化简可得，即．
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足．
同理，可得直线的方程为．
∵Px0,y0在直线上，
∴，．
∴直线的方程为．
联立，消去得．
∴，，
∴
．
又点到直线的距离．
，
令，．则．
又，
∴的面积的取值范围为
【典例5-2】已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B.
(1)若点的坐标为0,3，证明：直线；
(2)求O到直线的距离的范围.
【解析】（1）依题意，切线的斜率存在，设切线方程为，
由消去得，则，
设的方程两根为，则，即直线的斜率有，
所以.
（2）设椭圆上点，当椭圆在点处的切线斜率存在时，设其方程为，
由消去得，
则，化简得，
而，于是，即，
解得，直线的方程为，整理得，
当直线的斜率不存在时，点或，对应的切线方程分别为或，满足上式，
因此椭圆上任意点处的切线的方程为，
则椭圆上点处的切线的方程为，
设点，显然，由于直线，都过点，即，
显然点的坐标都满足方程，于是直线的方程为，
则原点O到直线的距离，而，
则当时，，当时，，
所以点O到直线的距离的取值范围是.
【变式5-1】已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过F点且垂直x轴的直线l交抛物线C于M，N两点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)圆Q：，点P在圆Q上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的范围.
【解析】（1）由题意知， 代入，解得＝1，
所以抛物线C的方程为
（2）设，
设切线方程为，
由得，，所以，
注意到，有，，
方程为，，所以，
则切线方程，，同理切线方程， 设，则有，，
所以AB方程为： 即
点到直线AB的距离
联立 得
，，
，
所以，
令t= 又因为，
所以 ； ，
综上的面积的范围是．
【变式5-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设线段的中点为，求的取值范围．
【解析】（1）当的斜率为时，则，不妨设Ax1,y1,Bx2,y2，
由可得，，所以，
,
即，因为，解得：．
从而抛物线的方程为
（2）由题意可知直线有斜率，
设直线，Ax1,y1,Bx2,y2，
由可得，，则
所以，
于是，即
而
由，则，
于是抛物线在点处的切线的方程为
即
同理可得，在点处的切线的方程为
联立，解得，于是 则
从而
所以，的取值范围是
1．已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P．
(1)若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）；
(2)证明：点P在定直线上．
【解析】（1）直线AB的斜率
直线AB的方程为，即
联立方程，整理得：
设，则，
设直线AB与y轴的交点为D，则
（2）由，得
的方程为：，整理得：
同理可得的方程为：
设，联立方程，解得
因为点T（1，2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立得：
故，，
所以，，可得
所以点P在定直线上
2．在直角坐标系中，动圆经过点且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C．直线y＝x＋b(其中b为非零常数)与曲线C交于两点，设曲线C在点处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点M，N．与的交点为T．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)求点T的横坐标；
(3)已知与面积之比为5，求实数b的值．
【解析】（1）由题意分析可知C到点的距离等于C到与直线的距离，
故曲线C的轨迹为抛物线，且以为焦点，以为准线．
故曲线C的轨迹方程为.
（2）由得，设Ax1,x12，Bx2,x22，．
联立直线和抛物线，消去y得，
则，，，得.
：y−x12=2x1x−x1，：，
联立和，解得，，即.
故T点横坐标为.
（3）：y−x12=2x1x−x1，令，得；
：，令，得．
.
设AB中点为H点，，将带入得.
所以
，
所以.
已知且，解得或.
3．已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且，在点处的切线交于两点.
(1)求直线的方程（用含的式子表示）；
(2)若点，求面积的最大值.
【解析】（1）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，
设双曲线方程为，由双曲线过点，代入方程，
解得双曲线，
点Px0,y0在上，有，
因为点在第一象限，所以可以将双曲线变形为.
求导有，
当时，，所以的方程为：，
化简有.
（2）设，有，
联立 ，消去得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0，
有，，
，
点到直线的距离，
则，将代入，
有
当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
4．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，离心率.
(1)求的方程；
(2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积.
【解析】（1）由题意可得，又，
所以，则双曲线的方程为.
（2）
设切线的方程为，则原点到的距离为1，
得，即.
由，得.
因为切线过上一点，
所以，方程有解.
得，化简得，
又，解得，
所以切线斜率最大为，此时直线为.
不妨取切线方程为，
设与的渐近线交于Ax1,y1,Bx2,y2，
则的渐近线方程与联立得，，
则，得，
又原点到直线的距离为1，所以面积为，
即切线斜率最大时与的渐近线围成的三角形面积为.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．
【解析】（1）根据题意，有，
所以双曲线的方程为.
设，且，
①当直线的斜率存在时，即时，
因为，所以，
，
从而，化简整理得，，
，所以在x轴负半轴上存在点使得；
②当直线的斜率不存在时，即时，
若，则，此时P点的坐标为2,3，
所以，则，又，所以，此时，
综上，满足条件的M点存在，其坐标为.
（2）设Px0,y0，由题意得，双曲线和圆相交，所以联立两曲线方程，得，即为两曲线四个交点的坐标，
①当时，即时，直线PG的斜率不存在，直线PE的斜率为0，
此时易得，此时点E、G关于点O对称，故E、O、G三点共线.
②当，且或，且时，
此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为，
设经过Px0,y0的直线方程为，由于直线与圆相切，
所以，即
由韦达定理得，又，所以，
由直线PE与圆的位置关系可知，，
同理直线PG的方程为，有，
联立，消去y并整理得，，
即，
即，
令，根据韦达定理得，所以
设，又，所以，
所以，又，
两式相减得，，
由图可知，，所以，即.
所以点E、G关于点O对称，此时E、O、G三点共线，
综上得，E、O、G三点共线.
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
(1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．
【解析】（1）当M的坐标为时，设过点的切线方程为，
与联立，得，整理得，
令，解得或，
分别代入方程得和，故得，，
同时可求得直线MA的方程为，直线MB的方程为，
进而可知，即直线MA与直线MB互相垂直，
则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB，
设该圆上任一点的坐标为，则，，
所以，
从而过M，A，B三点的圆的一般方程为．
（圆的标准方程：）．
（2）设切点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
过抛物线上点Ax1,y1的切线方程为，
与联立，整理得，
，所以，
又因为，从而过抛物线上点Ax1,y1的切线方程为，
即，同理可得过点Bx2,y2的切线为，
又切线MA，MB都过点，所以得，，
即点Ax1,y1,Bx2,y2均满足方程，
故直线AB的方程为．
设，其为直线上任意一点，
故对任意成立，从而直线AB恒过定点．
（3）由（2）知是方程的两实根，
故有，又，，，
所以．
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；
②当时，，，不可能为直角三角形；
③当时，，，
因为，，
所以，
若，则，整理得，
又因为，所以．
因为方程有解的充要条件是，所以当时，有，（的情况同理），
所以为直角三角形．
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，
当时，直线上存在两点，使为直角三角形；
当或时，不是直角三角形．
7．已知直线：和圆：.
(1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；
(2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）圆:的圆心坐标为0,4，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆相离；
因为直线和圆相离，如图：
过圆心作直线的垂线，垂足为，
要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点，
点到直线的最大距离为；
（2）因为点在直线上，可设，
过，，三点的圆即以为直径的圆，
圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
整理得，
所以过，，三点的圆方程为：，
将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即，
由得，
所以该定点的坐标为.
8．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q.
(1)当OM的值最小时，求切线方程;
(2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
【解析】（1）
当时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于，可得直线的斜率为2；
此时可得直线OM的方程为，
联立，得交点，
当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，则有，解得，
所以切线方程为，
综上所述，切线方程为和.
（2）
设，则，
因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M：，
此时圆M与圆O的公共弦为PQ，
两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为，
即，由，得，
因此直线PQ过定点.
9．已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍．
(1)求与的标准方程；
(2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积．
【解析】（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点，
则，所以的方程为；
由，即，又，
所以，故椭圆的标准方程.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，
由上述结论知，过点的椭圆的切线方程分别为，
因为在两条切线上，所以，
即，
则点的坐标都满足方程，
故直线的方程为，
联立，得，解得，
所以，
而点到直线的距离，
所以.
10．设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
(2)求证：直线恒过定点．
【解析】（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因为的中点，且,
从而过，，三点的圆的圆心为，半径为，
故其方程为．
圆心坐标为，半径为，圆与直线相切
（2）由已知得，求导得，切点分别为,，,，
故过点,的切线斜率为k=2x1，从而切线方程为,即,
又切线过点,，所以得①,即,
同理可得过点,的切线为，
又切线过点,，所以得②即,
即点,,,均满足,故直线的方程为,
又,为直线上任意一点，故对任意成立，
所以，，从而直线恒过定点,
11．已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）
【解析】（1）设，则，化简得：，
所以点M 的轨迹E的方程为.
（2）设，，，则切线为，切线为，
将点分别代入得，所以直线为，
点到的距离，当时，．
另一方面，联立直线与得，
所以，则，
当时，．所以．
故时，最小值为.
12．如图所示，已知椭圆，上顶点为A，过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．当r变化时，试问：直线BD是否过某个定点？若过某个定点，求出该定点；若不过某个定点，请说明理由．
【解析】设过点A的直线方程为，
因为直线与圆相切，所以由点到直线的距离公式得，
上式两边平方，化简得，
设两条切线AB，AD的斜率分别为，，则，
将椭圆向下平移1个单位得，即，
此时椭圆的上顶点，
设平移后的直线的方程为，，
与椭圆联立得，
整理得，
两边同时除以，化简得，
由韦达定理得，
即，
所以，解得，
故直线的方程为，直线恒过定点，
平移回原坐标系后，直线BD恒过定点．
13．已知圆，直线.
(1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标；
(2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）是圆O的切线切点为
所以.
所以点在以为直径的圆上，
点P在直线l上运动，所以设点，
则以为直径的圆方程为：，
即：，
令，解得或
所以圆过定点和
（2）由（1）知，过的圆方程为：，
同时点在圆上，
所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程，
两个圆的方程相减得：，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程；
令，解得.
故直线过定点
14．（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．
(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．
【解析】（1）由题意可知，即为，
求导得，则，由直线的点斜式化简得切线的方程为
为切线与轴的交点，则点的坐标为．
（2）设，
由（1）易知，则抛物线在A点处的切线的方程为，
同理可得切线的方程为，
直线和直线联立可得交点．
同理可得．
设垂心的坐标为，则．
由可知，
即．
同理可得．
两式相减可得，即．
因此垂心在定直线上．
（3）易知，则直线的方程为，
化简得
且，
点到直线的距离为
，
则三角形的面积．
由（2）知切线的方程为
可知，
点到直线的距离为
，
则外切三角形的面积．
故．
因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2．
解法二：因为，所以
由（2）得
所以
所以．
15．已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．
【解析】（1）设，在中，PB为圆的切线，所以，
，所以，得，即，
所以曲线的方程：
（2）由点Q为曲线上纵坐标最大的点，所以，
设，，斜率为k的直线方程为：，
由，得，
得，，
所以 ，
而，
，
所以，
即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为
16．已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由题意得，所以，
解得，又，所以．
故双曲线的渐近线方程为；
（ⅱ）证明：设直线AB的方程为，
由消元得：且，
故，故，
所以故，
又直线的方程为，
所以，同理，
所以
，
故．
（2）设两个切点为，由题意知斜率存在，
直线方程为，
联立，故，
由可得，
整理得到：，
故，故，所以，
同理直线方程为，
由过P点可得可得直线的方程为，
不妨设直线与x轴交于点，与两条渐近线的交点分别为，，
由可得；同理
则围成三角形的面积为：
，
因P在双曲线上，，则为定值．