拔高点突破01 统计背景下的新定义问题（四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份拔高点突破01 统计背景下的新定义问题（四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含拔高点突破01统计背景下的新定义问题四大题型原卷版docx、拔高点突破01统计背景下的新定义问题四大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

\l "_Tc178341738" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc178341738 \h 2
\l "_Tc178341739" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc178341739 \h 3
\l "_Tc178341740" 题型一：新定义统计量或指标 PAGEREF _Tc178341740 \h 3
\l "_Tc178341741" 题型二：新定义的统计方法或技术 PAGEREF _Tc178341741 \h 5
\l "_Tc178341742" 题型三：新定义的数据可视化方法 PAGEREF _Tc178341742 \h 6
\l "_Tc178341743" 题型四：综合应用题 PAGEREF _Tc178341743 \h 10
\l "_Tc178341744" 03 过关测试 PAGEREF _Tc178341744 \h 13
针对高中数学统计背景下的新定义问题，解题方法的总结可以从以下几个方面进行：
一、理解新定义的本质
首先，需要明确题目中的新定义是针对统计中的某一概念、方法或运算的拓展或创新。理解这一新定义的本质属性、条件、结论以及适用范围是解题的第一步。这要求学生具备较强的阅读理解能力和抽象思维能力，能够快速准确地把握新定义的核心内容。
二、联系已学知识
新定义问题往往不是孤立存在的，它们往往与已学的统计知识有着紧密的联系。因此，在理解新定义的基础上，学生需要将其与已学的统计概念、方法或运算进行联系，找到它们之间的共同点和不同点。这样不仅可以帮助学生更好地理解新定义，还可以为后续的解题提供思路和方法。
三、构建解题模型
对于统计背景下的新定义问题，构建解题模型是解决问题的关键。学生需要根据题目的具体要求和已学知识，构建出适合解决该问题的统计模型。这个模型可以是基于某种统计分布的假设检验模型，也可以是基于数据特征的描述统计模型。在构建模型的过程中，学生需要充分考虑新定义的条件和结论，确保模型的准确性和有效性。
四、运用统计方法进行计算和分析
在构建好解题模型之后，学生需要运用统计方法进行计算和分析。这包括数据的收集、整理、描述、推断等各个方面。在计算和分析的过程中，学生需要严格按照统计方法的步骤和要求进行操作，确保结果的准确性和可靠性。同时，学生还需要注意对新定义条件的应用和理解，确保计算和分析过程符合题目要求。
五、总结归纳
最后，学生需要对解题过程进行总结归纳。这包括对新定义的理解和应用情况的反思、对解题思路和方法的总结以及对统计知识的巩固和拓展等方面。通过总结归纳，学生可以更好地掌握新定义问题的解题方法，提高自己的统计素养和解题能力。
具体解题步骤建议
仔细阅读题目：理解题目中的新定义及其条件、结论等要素。
联系已学知识：将新定义与已学的统计知识进行联系和对比，找到它们之间的共同点和不同点。
构建解题模型：根据题目要求和已学知识构建解题模型，明确模型的假设条件、计算步骤和分析方法。
进行计算和分析：按照统计方法的步骤和要求进行计算和分析，确保结果的准确性和可靠性。
总结归纳：对解题过程进行总结归纳，反思解题过程中的得失和体会，巩固和拓展自己的统计知识。
题型一：新定义统计量或指标
【典例1-1】设，，…，是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称为样本k阶中心矩，其中为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度来刻画偏离方向与程度.若将样本数据，，…，绘制柱形图如图所示，则（ ）
2
A．B．
C．D．与0的大小关系不能确定
【典例1-2】定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为:在点的坐标中不同数字的个数，如:，点的坐标，则所有这些点的“数”的均值与最小值之差为 .
【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率，假正例率.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器预测为正例，反之预测为反例.
表1分类结果样例划分
利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的与.以为横坐标，为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据.
表2甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据

(1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点；
(2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积；
(3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为1的充要条件.
题型二：新定义的统计方法或技术
【典例2-1】（2024·河北衡水·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”，假设待检测的总人数是，将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推，每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定），若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”构测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数的所有可能值为 人．若待检测的总人数为，且假设其中有2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为 ．
【典例2-2】已知数据的平均数为，设为该组数据的“阶方差”，若，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．与奇偶性有关
【变式2-1】已知样本的平均数为，设为该样本的“阶方差”，则（ ）
A．
B．对任意恒成立
C．当为奇数时，不可能为负数
D．若，则
【变式2-2】（多选题）（2024·高三·湖北·期中）基于小汽车的“车均拥堵指数”，其取值范围是，值越大表明拥堵程度越强烈.在这个公式中，为路段上统计时间间隔内车辆平均行驶速度，为路段上自由流状态下车辆行驶速度，且结合地图匹配算法可得到，其中表示浮动车的速度.下列说法正确的是（ ）
A．的值越大，的值越小
B．若，则去掉后得到的的值变小
C．若，则去掉后得到的的值不变
D．若，则样本的方差小于样本的方差
【变式2-3】（多选题）（2024·河北邯郸·三模）为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为
题型三：新定义的数据可视化方法
【典例3-1】 2021年，小李老师的亲戚准备购买一辆新的卡车用来跑运输，可选的车型主要有种.分别为，，，，现在有个指标：维修期限，百升汽油里数，最大载重吨数，价格，可能性，灵敏性来衡量，其中可靠性和灵敏性为评分，如下表.为了统一标准用来分析比较，小李老师将数据做了以下处理：.（表示第行第列的原始数据，表示第行第列的原始数据处理后的数据，表示第列的原始数据）
如果用综合指标来做标准，则的综合指标为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·四川凉山·二模）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数点后一位有效数字）
A．41.7%，71.4%B．60%，71.4%
C．41.7%，35%D．60%，35%
【变式3-1】某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.
赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85B．88C．91D．95
【变式3-2】某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表：
假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率；
(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望；
(3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．
【变式3-3】定义：为不超过的最大整数部分，如，．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示：
进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为，若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为；若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100．
(1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生的成绩（填入下列表格内）；
(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：，记为转换分为3分；，记为转换分为4分；，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率．
题型四：综合应用题
【典例4-1】（2024·高三·浙江·开学考试）一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
【典例4-2】设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件
【变式4-1】给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
(1)当时，求的所有可能取值；
(2)当时，求满足的的个数；
(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
（注：实数满足：，当且仅当时取“”号）
【变式4-2】将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解．
(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?
若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的?
(3)记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由．
【变式4-3】已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
(2)当时，证明：①；②；
(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．
1．（2024·高三·北京丰台·期末）市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，40%，20%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如图所示，若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（ ）

A．45%B．48%C．50%D．52%
2．（多选题）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的不精确问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定：某区域内的m个点的深度的均值，标准偏差为，深度的点视为孤立点，下表给出了某区域内的8个点的数据，则（ ）
A．B．C．不是孤立点D．和是孤立点
3．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明
4．（2024·福建泉州·模拟预测）定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中．
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望．
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）安徽省从2024年起实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1：
表1
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（本次考试成绩均为自然数）
表2
(1)求甲同学该科目的等级分；
(2)理论上当原始分区间的极差越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求的值．
表3
6．多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下：
(1)若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
7．从2021年秋季学期起，黑龙江省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：
(1)根据频率分布直方图，求，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为88，试计算其等级分（计算结果四舍五入取整）.
8．（2024·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
9．某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类的自动识别系统.规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准差为，深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据：
(1)根据以上数据，计算的值；
(2)判断表中各点是否为孤立点.
10．（2024·江西吉安·一模）党的二十大报告提出，要推进健康中国建设，把保障人民健康放在优先发展的战略位置，完善人民健康促进政策.《国务院关于印发全民健身计划（—年）的通知》中指出，深入实施健康中国战略和全民健身国家战略，加快体育强国建设，构建更高水平的全民健身公共服务体系，充分发挥全民健身在提高人民健康水平､促进人的全面发展､推动经济社会发展､展示国家文化软实力等方面的综合价值与多元功能.如图为年~年（年的年份序号为）我国健身人数（百万人）变化情况的折线图：
统计学中的样本点具有二重性，样本是可以观测的随机变量，本题将和视为两个随机变量且以上数据图中的每个样本点的产生的概率都是，已知，其中表示的平均数.
参考数据及公式：.和两个随机变量之间的皮尔逊相关系数为，线性回归方程中，.
(1)求回归方程的皮尔逊相关系数（保留位有效数字）；
(2)求关于的回归方程.
11．（2024·湖南郴州·三模）chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.
第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prmpt数据，人工进行高质量的回答，获取数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.
第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.
第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.
参考数据：
(1)若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Lss值.
(2)绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某阶变量的绝对值误差，，其中，表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是，现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差为定值.
(3)在测试chatGPT时，如果输入问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.
12．某抽奖系统中，抽得的物品可分为星，星和星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：
基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率．
保底机制：现假定玩家从未进行过抽奖，则玩家抽取星（或星）的概率会随者未抽中星（或星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：
注：①表示，中的最小值：
②抽中星的概率和抽中星的概率的增加值从抽中星的概率中等量扣除；
③若发现下一次抽奖中，抽中星的概率和抽中星的概率的和大于，则下一次抽奖抽中星的概率等于表中的值（记为），而抽中星的概率为．
现记玩家获得个星物品所需要的最大抽奖次数为；
统计名玩家抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示：
计算得：，，，，已知与之间存在很强的线性相关关系，求出其线性回归方程，并求出使得最小的（回归方程中的和取两位小数）
参考公式：回归直线方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
13．（2024·山西太原·三模）在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.
14．某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如表（无废票）：
该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.
(1)如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求的所有取值；
(2)从高一（1）班投票给政治､历史､地理的学生中任意选取3位同学，设随机变量X为投票给地理学科的人数，求X的分布列和期望；
(3)当a为何值时，高一年级的语文､数学､外语三科的“好感指数”的方差最小？（结论不要求证明）
15．下表是中国近年来人口数据（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省）：
(1)在平面直角坐标系内标出这四个点，再把这些点连接成线；
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定，的值，使式子的值最小？（按如下步骤进行预测）
①化简S，使之成为字母的二次三项式；
②当取何值时（设为），二次三项式S取最小值（设为），这里和都应该是含字母的式子，且是字母的二次三项式；
③求的值，使取最小值；
④求出对应于上述的值；
⑤用一次函数模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．
(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
16．（2024·北京西城·一模）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
总例
预测结果
正例
反例
真实
情况
正例
真正例
假反例
反例
假正例
真反例
样例数据
甲分
类器
乙分
类器
样例
标号
样例
属性
预测正
例概率
预测正
例概率
1
正例
0.23
0.34
2
正例
0.58
0.53
3
反例
0.15
0.13
4
反例
0.62
0.39
5
正例
0.47
0.87
6
反例
0.47
0.53
7
反例
0.33
0.11
8
正例
0.77
0.63
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
等级
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
100-86
85-71
70-56
55-41
40-30
甲生产线抽样产品编号
指标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.98
0.96
1.07
1.02
0.99
0.93
0.92
0.96
1.11
1.02
2.01
1.97
1.96
2.03
2.04
1.98
1.95
1.99
2.07
2.02
0.03
0.07
0.11
0.05
0.05
0.09
0.13
0.05
0.18
0.04
乙生产线抽样产品编号
指标
1
2
3
4
5
6
7
8
1.02
0.97
0.95
0.94
1.13
0.98
0.97
1.01
2.01
2.03
2.15
1.93
2.01
2.02
2.19
2.04
0.03
0.06
0.20
0.13
0.14
0.04
0.22
0.05
高二成绩
第1次考试
第2次考试
第3次考试
第4次考试
第5次考试
第6次考试
甲
68
74
77
84
88
95
乙
71
75
82
84
86
94
高三成绩
第1次考试
第2次考试
第3次考试
第4次考试
第5次考试
第6次考试
甲
乙
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
17
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.4
15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4
20
12
13
15
16
14
12
18
年份
产量万台
销量万台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
5
3
4
9
8
7
6
10
2
12
14
13
11
15
等级
A
B
C
D
E
人数比例
赋分区间
原始分
成绩等级
原始分区间
等级分区间
75分
A等级
分数段
人数比例
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
等级
A
B
C
D
E
人数比例
赋分区间
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知识竞赛成绩
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
学生编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知识竞赛成绩
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.8
15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4
20
12
13
15
16
14
12
18
物品类别
星
星
星
基础概率
连续未抽中星的次数
下一次抽中星的概率
连续未抽中星的次数
下一次抽中星的概率
玩家序号
总次数
四星个数
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
8
语文
数学
外语
物理
化学
生物
政治
历史
地理
高一（1）班
6
9
7
5
4
5
3
3
2
高一（7）班
a
7
b
4
5
6
5
2
3
年份
2013
2014
2015
2016
人口数
13.61亿
13.68亿
13.75亿
13.83亿
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4