第01讲 计数原理（三大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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1．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ）
A．3B．8C．12D．18
【答案】B
【解析】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为.
故选：B.
2．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A．3B．9C．24D．以上都不对
【答案】B
【解析】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，
则由分类加法计数原理可得共有种不同走法.
故选：B.
3．某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（ ）．
A．10种B．15种
C．20种D．25种
【答案】B
【解析】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，
所以设这两名同学为甲乙，
当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有：
没有同学参加有种情况，恰有一名同学参加有种情况，
恰有两名同学参加有种情况，三名同学都参加有种情况，
所以共有种组合；
当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有：
恰有一名同学参加有种情况，恰有两名同学参加有种情况，
三名同学都参加有种情况，所以共有种组合；
所以不同的参赛组合数为：种，
故选：B
题型二：分步乘法计数原理的应用
4．学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（ ）
A．B．36C．24D．
【答案】D
【解析】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个，
都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法.
故选：D.
5．如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（ ）
A．8B．4C．5D．3
【答案】B
【解析】根据题意
根据分步计数原理，一条电路从A处到B处接通，处并联电路开关闭合一个，有2种方法，
处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有种方法.
故选：B
6． 2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．24种
【答案】D
【解析】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从四人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法.
故选：D.
7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用代表红球，代表蓝球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来， 如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来， 以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，
则有；
第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，
只有；
第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个，
则有.
根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：
.
故选：A.
8．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（ ）
A．11B．12C．30D．36
【答案】C
【解析】由题意，共有种选法.
故选：C．
9． 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ）
A．9B．20C．D．
【答案】D
【解析】因为每名同学都有4种选择，
所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：．
故选：D.
题型三：两个计数原理的综合应用
10．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种．
【答案】50
【解析】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，
第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有种方法，
所以共有种方法.
故答案为：50
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
【答案】
【解析】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成个不同的四位数；
如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成个不同的四位数；
如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成个不同的四位数；
所以最多能组成个不同的四位数.
故答案为：.
12．如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个“幸运数”．
【答案】
【解析】①若有个，则为，共个；
②若有个，则另外两个数为，，，，则有个；
③若有个，则另外三个数为，，，，，
则有个；
④若没有，则为，，，，，
则有个；
综上一共有个.
故答案为：
13．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作答）.
【答案】46
【解析】依题意，若这四位数为偶数，则个位一定是0,2,4这三个之一；
若这四位数能被3整除，则这四位数之和为3的倍数.
当个位数为0时，剩下的三位数为1，2，3或2,3,4或3,4,5，此时共有：个；
当个位数为2时，剩下的三位数为0,1,3或0,3,4或1,4,5，
当剩下的三位数含有0时，0不能在千位数，此时有个；
当个位数为4时，剩下的三位数为0,2,3或0,3,5或1,2,5，
当剩下的三位数含有0时，0不能在千位数，此时有个；
总共有：个.
故答案为：46.
1．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（ ）
A．20种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，
与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法，
所以不同填法种数是.
故选：B
2．（2024·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】A
【解析】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法，
第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法，
所以共有种.
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（ ）
A．243种B．162种C．72种D．36种
【答案】B
【解析】先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ）

A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解析】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c，
我们首先假设正方体的一对对顶点是在和，若将染成色，
那么，，三个点必然都是色，
而，，必然都是色．如此递推可以恰好染完整个正方体.
而当色固定的时候通过旋转就可以得到互换的正方体.
从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.
故选：A
5．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
首先选取种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种．
故选：B．
6．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A．12种B．24种C．30种D．60种
【答案】C
【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，
所以不同的选法有（种）.
故选：C
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的总次数均为2，那么不同的方案数为（ ）
A．3000B．3360C．1440D．1560
【答案】A
【解析】依次记四种奶糖为，则每个字母出现2次，先分堆．
若是“”，则其中的“4”必须是，故有1种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能，
所以不同的方案数为种．
故选:A．
8．（2024·陕西西安·三模）方程的非负整数解的组数为（ ）
A．40B．28C．22D．12
【答案】A
【解析】因为，所以的因数有个，
故方程的非负整数解的组数为40．
故选：A
9．（多选题）（2024·全国·模拟预测）将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则这样的数列共有360个
B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个
C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个
D．若，，，则这样的数列共有71个
【答案】ACD
【解析】对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于B：从中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，故B错误．
对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故C正确；
对于D：若，则先从其余6个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数中最大的为，剩下的3个数任取2个作为且，有种方法，
则这样的数列有个，
若，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数中最大的为，，剩下的2个数任取1个作为或即可，有种方法，则这样的数列有个，
若，则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数位置固定的一种排法，其中，则这样的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·高二·山东德州·阶段练习）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】AC
【解析】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有种不同的放法，故D错误．
故选：AC
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A．可以围成20个不同的正方形
B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C．可以围成516个不同的三角形
D．可以围成16个不同的等边三角形
【答案】ABC
【解析】不妨设两个钉子间的距离为1，
对于选项A，由图知，边长为1的正方形有个，边长为的正方形有个，
边长为3的正方形有1个，边长为的正方形有个，边长为的有2个，共有20个，所以选项A正确，
对于选项B，由图知，宽为1的长方形有个，宽为2的长方形有个，
宽为3的长方形有5个，宽为的有2个，共有24个，所以选项B正确，
对于选项C，由图知，可以围成个不同的三角形，所以选项C正确，
对于选项D，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，
故选：ABC.
12．（多选题）（2024·高二·山东滨州·期末）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
13．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
【答案】10
【解析】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.
故答案为：10
14．（2024·全国·模拟预测）二阶魔方是一个的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有 种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了）
【答案】
【解析】任选其中1个角作为参考，考虑其余7块排列情况.在这7块中，任意确定6块，
最后一块也确定了，所以任意二阶魔方有种状态.
再考虑每个角块有三种朝向，扣除状态相同的情况，则有种状态.
故答案为：.
15．（2024·河南濮阳·模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有 种（用数字作答）．
【答案】276
【解析】依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，
当甲参加时，有种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法，
所以不同选派方法种数是.
故答案为：276
16．（2024·高二·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
【答案】60
【解析】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为，
当4人全部被录取，则不同的录取情况数为，
综上不同的录取情况数共有种.
故答案为：60
17．（2024·福建泉州·模拟预测）围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ．（用数字作答）
【答案】29241
【解析】矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直的闭合图形．
则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可，即.
故答案为：29241．
1．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

A．26B．24C．20D．19
【答案】D
【解析】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为.
故选：D．
2．（1993年普通高等学校招生考试数学（理）试题（旧高考））同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,
故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,
所以共有种分配方式.
故选：B.
3．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个．（用数字作答）
【答案】 ； .
【解析】因为只有当且时，函数才是一次函数，
所以可组成不同的一次函数共有；
因为只有当时，函数才是二次函数，
所以可组成不同的二次函数共有，
故答案为：；
4．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））从，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶函数共有 个．（用数字作答）
【答案】 18 6
【解析】可组成不同的二次函数共有：个.
函数为偶函数，则，共有：个.
故答案为：18；6
5．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
【答案】
【解析】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
故答案为:.
6．（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有 场比赛．
【答案】16
【解析】按比赛赛程分类，第一类单循环赛场次，第二类淘汰赛场次2，第三类决赛场次2，
总场次为．
故答案为：16.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc178935553" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc178935553 \h 2
\l "_Tc178935554" 题型一：分类加法计数原理的应用 PAGEREF _Tc178935554 \h 2
\l "_Tc178935555" 题型二：分步乘法计数原理的应用 PAGEREF _Tc178935555 \h 3
\l "_Tc178935556" 题型三：两个计数原理的综合应用 PAGEREF _Tc178935556 \h 5
\l "_Tc178935557" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc178935557 \h 6
\l "_Tc178935558" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc178935558 \h 13