第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（六大题型）（课件）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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知识点1：离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质①pi 0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ .
知识点2：离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或数学期望，
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的 .
(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝
_____________为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的 ，
记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 .
均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝ .(2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数).
【典例1-1】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（    ）A．所取球的个数B．其中含红球的个数C．所取白球与红球的总数D．袋中球的总数
题型一：离散型随机变量
【方法技巧】 离散型随机变量判断方法总结：关键在于随机变量的所有取值是否可以一一列出．若随机变量取值有限个或可列无穷多个，则为离散型随机变量．
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
题型四：离散型随机变量的均值
【变式4-1】如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望．
题型五：离散型随机变量的方差
【典例6-2】（2024·河南·模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；（2）以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
 【方法技巧】 均值与方差在决策中的应用（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．（2）两种应用策略①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．
2．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0．8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0．5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
4．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
答题模板：求离散型随机变量的分布列及数字特征1、模板解决思路求离散型随机变量的分布列及数字特征，关键是找出随机变量X的所有可能取值，并明确每一个取值所表示的意义，然后进行相应的计算即可．2、模板解决步骤第一步：理解随机变量X的意义，找出X的所有可能取值．第二步：求出X取每一个值时的概率．第三步：写出X的分布列．第四步：由均值或方差的定义求出均值或方差．