重难点突破03 高等背景下概率论新定义（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc178505643" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc178505643 \h 2
\l "_Tc178505644" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc178505644 \h 2
\l "_Tc178505645" 题型一：切比雪夫不等式 PAGEREF _Tc178505645 \h 2
\l "_Tc178505646" 题型二：马尔科夫链 PAGEREF _Tc178505646 \h 6
\l "_Tc178505647" 题型三：卡特兰数 PAGEREF _Tc178505647 \h 12
\l "_Tc178505648" 题型四：概率密度函数 PAGEREF _Tc178505648 \h 17
\l "_Tc178505649" 题型五：二维离散型随机变量 PAGEREF _Tc178505649 \h 20
\l "_Tc178505650" 题型六：多项式拟合函数 PAGEREF _Tc178505650 \h 26
\l "_Tc178505651" 题型七：最大似然估算与大数定律 PAGEREF _Tc178505651 \h 29
\l "_Tc178505652" 03 过关测试 PAGEREF _Tc178505652 \h 35
在高等背景下，概率论的新定义涉及更复杂的数学模型和理论框架。方法技巧上，需深入理解随机变量及其分布、多维随机变量及其相关性，以及大数定律和中心极限定理等核心概念。同时，掌握切比雪夫不等式、马尔科夫链、卡特兰数等高级概率工具也至关重要。
技巧上，要善于运用概率论知识简化复杂问题的求解过程，如利用概率分布特性减少计算量，或通过构建概率模型直观理解问题。此外，结合实际问题背景，灵活运用条件概率、贝叶斯公式等也是解题的关键。
总结来说，高等背景下概率论的新定义强调理论深度与应用广度，要求学习者不仅掌握基础知识，还需具备灵活运用高级概率工具解决复杂问题的能力。通过不断学习与实践，可以逐步深化对概率论的理解，提升解题技巧与效率。
题型一：切比雪夫不等式
【典例1-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
【答案】1250
【解析】由题意知，所以，，
若，则，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
【典例1-2】19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
(1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值；
(2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值.
【解析】（1）①由题意，
所以.
；
②由题意，则，，
若，则，
所以，
又，解得，即发射次数至少为次.
（2）依题意，
则，
，
，解得，
，解得，
又，所以当时，最大.
【变式1-1】（2024·吉林长春·模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markv）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式，
有．
法二：设的分布列为
其中，记，则对任意，
.
（2）设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下，．
由切比雪夫不等式，有．
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
【变式1-2】（2024·浙江·二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
【解析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若，则
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
题型二：马尔科夫链
【典例2-1】（2024·高三·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值.
【解析】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为.
由题意知，
（2）因为.
所以.
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
（3）因为，①
②
所以①一②，得.
又因为，所以，所以.
的可能取值是，
所以的概率分布列为
所以.
所以的数学期望为定值1.
【典例2-2】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
【解析】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此．
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率；
（2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件，
，即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得；
（3），由（2），
代入可得，即，
当时，，当时，，
当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债．
【变式2-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值．
【解析】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为．
由题意知，，
所以．
（2）因为，
所以．
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，．
（3）因为①，
②．
所以①②，得．
又因为，所以．所以．
所以的概率分布列为：
所以．
所以的数学期望为定值1．
【变式2-2】（2024·高三·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为．
(1)求和．
(2)证明：为等比数列．
(3)求的数学期望（用n表示）．
【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率，
研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为，
综上，.
（2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为，
恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为，
研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为，
③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为，
综上，
则，
整理得，又，
所以数列是公比为的等比数列.
（3）由（2）知，则，
随机变量的分布列为
所以.
题型三：卡特兰数
【典例3-1】清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.

【答案】 35 14
【解析】
从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，
故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法；
若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），
则由卡特兰数可知共有种不同的走法，
又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14.
故答案为：35；14
【典例3-2】（2024·湖北·二模）五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
【解析】（1）依题可知，的可能取值为.
，，，
所以，的分布列如下：
所以，．
（2）依题可知，时，，所以时胜利的概率最大.
（3）记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”.
下面我们对事件进行分析.
发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走，
这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走，
从而机器人第2步到第步向前和向后行走的步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).
根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，，
所以．
由于，
，故等式成立．
【变式3-1】Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于.
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.
(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）求及；
（ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求.
【解析】（1）依题可知，的可能取值为，
，，
，，
的分布列如下：
.
（2）（i），，
（ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点，
事件：粒子第1秒末向右移动一个单位.
，
记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，
以下仅考虑事件.
设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设，
则粒子运动方式可用数列an表示，
如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.
由粒子在第秒末第一次回到原点，可知
数列an的前项中有个1和个.
，，
粒子在余下秒中运动的位置满足，
即，
粒子在余下秒中运动方式的总数为，
，又，
.
【变式3-2】（2024·辽宁大连·二模）大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时，各抒己见展示各自的解法.
题干：定义“规范01数列”an如下：an共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有[14]个.
A同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个；
B同学在组合数学中学过卡特兰数，，所以此题是的情况，.
在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分.若起始分为零分，出现负分游戏立刻停止.
(1)求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率；
(2)如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分的分布列和期望；
(3)参与一次游戏，记总共抛硬币次数为，的期望为，求满足的最小正整数.
【解析】（1）对题目中给出的卡特兰数，事实上我们有恒等式，
先不考虑第11次，考虑前10次.
前10次中我们设第一次零分出现在第次，第二次零分出现在第10次，.
那么这种时候可能的情况有种，
所以总共的情况有种，
所以所求概率.
（2）使得的情况只有种；
使得的情况有种（反面向上可以出现在除了第1次以外的任意一次）；
使得的情况有种（反面向上不能出现在第1次，也不能同时出现在第2次和第3次）；
使得的情况有种（反面向上不能出现在第1次，若出现在了第2次，
则剩下两次反面向上不能出现在第3次，也不能同时出现在第4次和第5次；
若未出现在第2次，则反面向上不能同时出现在第3次、第4次和第5次）
使得的情况有种；
使得的情况有种.
所以所求分布列为
且.
（3）由于的全部可能值为，而，
故.
但我们有，
解得.
用替换，可得，
再求导就得到.
代入可得，
所以.
所以不存在满足条件的正整数.
题型四：概率密度函数
【典例4-1】设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.
(1)若随机变量的分布列为
其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.
(2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.
(3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.
【解析】（1）依题意得：，
所以.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为.
（2）依题意得：，所以.
令，得，令，得，
又，所以…
所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200.
（3）依题意得：
所以
令，，
则，令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取到最大值.
即时，取得最大值，即取得最大值.
所以参数的极大似然估计值为.
【典例4-2】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
【解析】（1）李明平时选择骑自行车更稳妥，
由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥.
（2）由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车；
由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车.
【变式4-1】设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为；
（1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．（，）
（2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且；
①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率；
②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列．
【解析】（1）
所以解得，所以
用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则，
，则，即
解得
，对X至少做11次独立重复观测；
（2）①
记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C，
②依题意的可能取值为，
则，，
所以分布列如下：
题型五：二维离散型随机变量
【典例5-1】（2024·江苏常州·一模）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；
现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．
(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；
(2)设且，求的值．
（参考公式：若，则）
【解析】（1）
若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，
则，
，
，，
，，
，
故的联合分布列为
（2）当时，，
故
所以，由二项分布的期望公式可得．
【典例5-2】（2024·高三·河北保定·开学考试）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下：
(1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）；
(2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立.
（i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由；
（ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例.
【解析】（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律；
，
，
，
不放回取球下的联合分布律和边缘分布律；
，
，
，
（2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中，
，
，
经检验，满足.
所以与相互独立.
在不放回摸球联合分布律中，
，不满足满足，，则与不是相互独立.
（ii）
任取分布律中的一行为，
另一行为，其中
因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足，
所以
因为
所以，则分布律中任意两行对应成比例.
同理可证分布律中任意两列也对应成比例.
【变式5-1】（2024·重庆·三模）已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：
(1)求和；
(2)“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；
(3)为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.
【解析】（1）由已知.
（2）法一：“”可取的值为，
因为
所以，
，
，
所以“”分布列为
法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立，
故，其中，
由已知，，
所以得“”分布列为
（3）法一：因为，所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以.
法二：
.
题型六：多项式拟合函数
【典例6-1】（2024·甘肃·一模）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
(1)现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
(2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：对于回归方程
【解析】（1）可令，则与成线性回归关系，则的对应关系如下图：
根据公式可得，则，，
则,
,
所以，，则.
（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下：
（人）.
【典例6-2】（2024·安徽·一模）碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：
①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；
②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：
以x表示旋转角度，y表示燃气用量.
(1)用列表法整理数据（x，y）；
(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位）
(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）
参考数据：，，，，
线性回归模型，二次函数模型．
参考公式：，，．
【解析】（1）整理数据如图：
（2），，，
，
故回归直线方程为；
（3），即旋转角约为38.7时，烧开一壶水燃气用量最少.
回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，，
则，.
因为，所以二次函数拟合效果更好.
题型七：最大似然估算与大数定律
【典例7-1】（2024·河北张家口·三模）在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．
(1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；
(2)当N足够大时，证明：（其中）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．
【解析】（1）由题知，投入资金为，所获利润为，所以.
（2）由题可知，，即，
所以
.
（3）由（2）可得，,
其中，故，故.
记，
则
，
根据实际意义知，，
则，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.
【典例7-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k）
【解析】（1）X的可能取值为2，3，4，则，
，，
则X的分布列为
（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）.
设参加会议的群众代表的人数为Y，则.
若，则，
则，
，
，
令，得，解得，
以代替k，得，
令，得，解得，
所以，
若为整数，则当
或时，取得最大值，
所以估计参加会议的群众代表的人数为或，
若不是整数，则当时，
取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，
其中，表示不超过的最大整数.
【变式7-1】（2024·浙江杭州·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．
（注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
(2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
【解析】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或；
（ⅰ）当时，，，
当时，，，
表格如下
（ⅱ）由上表可知．
当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．
所以；
（2）由，
则，
令，
即，
故，即当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
【变式7-2】（2024·河南·模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数．
【解析】（1）完成的表格如下：
（2）记X为参加会议的专家人数，（，3，4）的概率记为．
由（1）中的表格可知出现的次数为6，出现的次数为24，出现的次数为6，
则，，，
则，，
根据最大似然估计法，可以估计出参加会议的专家人数为3．
【变式7-3】统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【解析】（1）,
故分布列为：
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
1．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B
2．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入由曲线（曲线为正态分布的概率密度曲线）与直线、及所围成的封闭区域内的点的个数的估计值为（ ）
（附：若，则，，
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由正态分布原则可知，封闭区域的面积为，
正方形的面积为，因此，落入封闭区域的点的个数的估计值为.
故选：D.
3．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（ ）
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1、C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
【答案】C
【解析】由题意，曲线C1和C2的大小形状完全一样，只是在坐标系中的位置不同，
而对称轴是，形状决定方差.
设正态曲线C1表示随机变量，正态曲线C2表示随机变量，
则，
，
，
故C错误，ABD正确．
故选：C.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2010年到2018年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2010年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（ ）
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．根据三次多项式函数可以预测2019年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元
C．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．销售额y与年份序号x线性相关不显著
【答案】D
【解析】散点从左下到右上分布，所以销售额y与序号x呈正相关关系，故A正确；
令，由三次多项式函数得2684.54，
所以2019年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B正确；
用三次多项式曲线拟合的相关指数，而一次归直线拟合的相关指数，相关指数越大拟合效果越好，故C正确；
因为相关系数非常接近1，
故销售额y与年份序号x线性相关显著，故D错误，
故选：D.
5．（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 .
【答案】
【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知.
故答案为： ;.
6．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则 ； ．
【答案】
【解析】由题意，；
当时，
，
整理得，，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以.
故答案为：；
7．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 .
【答案】/
【解析】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，
当时，赌徒已经输光了，所以，
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为，
记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元下一次赢的事件，
所以，
即，所以，
所以为等差数列，设，
由于，所以，
所以，
故
故答案为：
8．随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记.对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量满足，则有.
【解析】（1）设的所有可能取值为取的概率为.
则 ，

（2）（2）由参考公式，.
，用到
而，故.
当时，，
因此，不能保证.
9．（2024·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
【解析】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
10．（2024·全国·模拟预测）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为
(1)证明是卡特兰数；
(2)求的通项公式．
【解析】（1）若先走到则合法路径，
若先走到且不走到，
相当于走到后向右走到再走到，
合法路径
若先走到且不走到，
相当于走到后再从走到，
合法路径，
于是，即为卡特兰数.
（2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，
记第一个交点为，
将之后的路径都沿着对称，
那么这条不合法路径的终点成为了，
于是总路线为，不合法路线为，
合法路径为，
即.
11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为.
(1)求的值；
(2)根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出；
(3)求证：的数学期望为定值.
【解析】（1）由题意恰有0个黑球的概率为.
由题意知，
所以.
（2）因为，
所以.
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（3）因为①，
②
所以①-②，得.
又因为，所以.所以.
所以的概率分布列为：
所以.
所以的数学期望为定值1.
12．（2024·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，.
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.
请根据以上材料，回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001
(2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.
【解析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知：
故：.
（2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，
事件表示小球向右走一格.小球开始于第格，此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动，
当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，
即.由题知，
又，故，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
即：，
即：，
，
，
故，
，
则，
故这名顾客获得代金券的概率为.
13．（2024·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
【解析】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：
.
②依题意，，，
显然，则，
所以.
（2）由定义及全概率公式知，
.
14．（2024·高三·河北邯郸·开学考试）设是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为，其中，，则称为二维随机变量的联合分布列．定义：，称（，，…）为关于X的边际分布列，，称（，，…）为关于Y的边际分布列；对于固定的j，称（）为给定条件下的离散型随机变量的条件分布列，则二维离散型随机变量的联合分布列与边际分布列如表：
(1)求证：对于，；
(2)若的联合分布列与边际分布列如表：
求给定条件下Y的条件分布列；
(3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中．记放入1号盒子的球的个数为，放入2号盒子的球的个数为，则是一个二维离散型随机变量．列出的联合分布列与边际分布列．
【解析】（1）
（2）因为，所以用第二行的值分别除以0.3，
可得给定条件下Y的条件分布列：
（3）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，2，3，
设，，，，由概率的乘法公式知，
，，，，，
所以，，
当时，显然，
所以（X，Y）的联合分布列与边际分布列如表：
15．已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球．
(1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率；
(2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球．
①求；
②证明：．
【解析】（1）设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为，
第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，，
，
于是，
所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率；
第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率；
第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率.
（2）①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率，
所以.
②由定义及全概率公式知，
，
所以.
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4
0
1
2
0
1
2
p
1
2
3
0
2
4
-3
-1
1
3
1
2
3
K
3
4
5
P
边缘分布律
边缘分布律
1
0
1
边缘分布律
0
1
边缘分布律
1
0
1
边缘分布律
0
0.3
0.3
0.6
1
0.3
0.1
0.4
边缘分布律
0.6
0.4
1
边缘分布律
边缘分布律
1
X
0
3
6
0
5
0
3
6
0
3
6
年份序号
1
2
3
4
5
人数（万人）
263
273
286
314
334
4
9
16
25
36
263
273
286
314
334
0
1
2
3
4
项目
旋转角度
开始烧水时燃气表计数/dm3
水烧开时燃气表计数/dm3
18°
9080
9210
36°
8958
9080
54°
8819
8958
72°
8670
8819
90°
8498
8670
x（旋转角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃气用量：dm3）
x（旋转角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃气用量：dm3）
130
122
139
149
172
X
2
3
4
P
0.1
0.6
0.3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
0
1
2
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
1
2
3
1
0.3
0.1
0.1
0.5
2
0.05
0.1
0.15
0.3
3
0.05
0.1
0.05
0.2
0.4
0.3
0.3
1
1
2
3
P
（X，Y）
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
1